Obtenha as expansões em Séries de Laurent da função f(z)=1z-1-1z-2 para z nas regiões (a) 0<|z-1|<1 e (b) |z-1|>2.

Passo 1

O enunciado pede para obter, em torno de z=1, as expansões em séries de Laurent da função f(z)= 1z-1-1z-2 em duas regiões: (a) o anel 0<|z-1|<1 e (b) a região externa |z-1|>2. Vamos usar a definição de série de Laurent e a ideia de séries geométricas para expandir cada fração.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a mudança de variável w=z-1. Assim temos
f(z)=1w-1w-1

Passo 3

No anel (a) |w|<1, a fração 1/(w-1) pode ser escrita como
1w-1=-11-w=-sumn=0^inftyw^n,
pois usamos a série geométrica 1/(1-w)=sumn=0^infty w^n válida para |w|<1. Logo
-1w-1=sumn=0^infty w^n

Passo 4

Agora juntamos com 1/w:
f(z)=1w+sumn=0^inftyw^n=1w+1+w+w^2+cdots,
que é a expansão de Laurent válida para 0<|z-1|<1.

Passo 5

Na região (b) |w|>2 (e portanto também |w|>1), expandimos 1/(w-1) em potências de 1/w. Escrevemos
1w-1=1wcdot11-1/w = 1wsumn=0^inftyl(1wr)^n=sumk=1^infty w^-k, válido se |1/w|<1 (i.e. |w|>1). Então
-1w-1=-sumk=1^infty w^-k

Passo 6

Somando 1/w obtemos
f(z)=1w-sumk=1^infty w^-k = -sumk=2^infty w^-k,
pois o termo de ordem w^-1 se cancela. Essa é a série de Laurent em potências negativas válida para |z-1|>2.

Resposta

(a) Para 0<|z-1|<1:
f(z)=1z-1+1+(z-1)+(z-1)^2+cdots
(b) Para |z-1|>2:
f(z)=-l((z-1)^-2+(z-1)^-3+(z-1)^-4+cdotsr)

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