Obtenha as expansões em Séries de Laurent da função
para
nas regiões (a)
e (b)
.
Passo 1
O enunciado pede para obter, em torno de z=1, as expansões em séries de Laurent da função f(z)=
em duas regiões: (a) o anel 0<|z-1|<1 e (b) a região externa |z-1|>2. Vamos usar a definição de série de Laurent e a ideia de séries geométricas para expandir cada fração.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
. Assim temos
Passo 3
No anel (a) |w|<1, a fração
pode ser escrita como
pois usamos a série geométrica
Passo 4
Agora juntamos com
:
que é a expansão de Laurent válida para 0<|z-1|<1.
Passo 5
Na região (b) |w|>2 (e portanto também |w|>1), expandimos
em potências de
. Escrevemos
Passo 6
Somando
obtemos
pois o termo de ordem
Resposta
(a) Para 0<|z-1|<1:
(b) Para |z-1|>2: