ARITMÉTICA DE NÚMEROS COMPLEXOS
Considere os números z_{1}=2+3 i e z_{2}=4-5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
\bar{z}_{1} / \bar{z}_{2}, \overline{\left(z_{1} / z_{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \,z_{1}=2+3i e \,z_{2}=4-5i e pede dois quocientes na forma x+iy:
\bar{z}_{1}/\bar{z}_{2}
\overline{\bigl(z_{1}/z_{2}\bigr)}
O conteúdo é aritmética de complexos: vamos usar a definição de conjugado \overline{a+bi}=a-bi e a técnica de racionalização para dividir.

Passo 2

Primeiro obtemos as conjugadas: \bar{z}_{1} = 2 - 3i \bar{z}_{2} = 4 + 5i

Passo 3

Para calcular \bar{z}_{1}/\bar{z}_{2}, racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \overline{\bar{z}_{2}}=4-5i:
\frac{\bar{z}_{1}}{\bar{z}_{2}} = \frac{(2-3i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)}
O denominador fica
(4+5i)(4-5i) = 4^{2} + 5^{2} = 41
e o numerador
(2-3i)(4-5i) = 8 -10i -12i +15\,i^{2} = 8 -22i -15 = -7 -22i
Logo
\frac{\bar{z}_{1}}{\bar{z}_{2}} = -\frac{7}{41} - \frac{22}{41}\,i

Passo 4

Agora calculamos z_{1}/z_{2} pela mesma técnica, multiplicando por \overline{z_{2}}=4+5i:
\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(2+3i)(4+5i)}{(4-5i)(4+5i)}
O denominador é novamente 41 e o numerador
(2+3i)(4+5i) = 8 +10i +12i +15\,i^{2} = 8 +22i -15 = -7 +22i
Portanto
\frac{z_{1}}{z_{2}} = -\frac{7}{41} + \frac{22}{41}\,i

Passo 5

Basta aplicar conjugado ao resultado do quociente acima:
\overline{\bigl(z_{1}/z_{2}\bigr)} = -\frac{7}{41} - \frac{22}{41}\,i
Note que coincide com \bar{z}_{1}/\bar{z}_{2}.

Resposta

\bar{z}_{1}/\bar{z}_{2} = -\dfrac{7}{41} - \dfrac{22}{41}\,i \displaystyle \overline{\bigl(z_{1}/z_{2}\bigr)} = -\dfrac{7}{41} - \dfrac{22}{41}\,i

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