(Potências de
) Mostre que
.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre as potências de
e também seus inversos. O ponto de partida é a definição do número imaginário:
Vamos usar essa definição, a propriedade de multiplicação de potências e a técnica de racionalizar para achar as potências seguintes e os inversos.
Passo 2
Partimos de
Para achar
e
, usamos
Assim vemos que a sequência de potências de
repete a cada 4 expoentes.
Passo 3
Com isso temos o ciclo fundamental:
e daí em diante
. Isso confirma
e
.
Passo 4
Para os inversos, basta usar
e o ciclo acima, ou racionalizar multiplicando numerador e denominador por
:
Analogamente,
Resposta
1/i = –i
1/