(Potências de i ) Mostre que i^{2}=-1, i^{3}=-i, 1 / i=-i, 1 / i^{2}=-1,1 / i^{3}=i, \cdots.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre as potências de i e também seus inversos. O ponto de partida é a definição do número imaginário:
i^2=-1.
Vamos usar essa definição, a propriedade de multiplicação de potências e a técnica de racionalizar para achar as potências seguintes e os inversos.

Passo 2

Partimos de
i^2=-1.
Para achar i^3 e i^4, usamos
i^3 = i^2 \cdot i = (-1)\cdot i = -i,
i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1.
Assim vemos que a sequência de potências de i repete a cada 4 expoentes.

Passo 3

Com isso temos o ciclo fundamental:
i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1,
e daí em diante i^{n+4}=i^n. Isso confirma i^2=-1 e i^3=-i.

Passo 4

Para os inversos, basta usar 1/i = i^{-1} e o ciclo acima, ou racionalizar multiplicando numerador e denominador por -i:
\frac{1}{i} = \frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = -i.
Analogamente,
\frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1,
\frac{1}{i^3} = \frac{1}{-i} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i.

Resposta

i^{2} = –1
i^{3} = –i
1/i = –i
1/ i^{2} = – 11/ i^{3} = i

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