Um trem percorre uma distância d entre a cidade A e a cidade B a partir do repouso, sem parar e em linha reta. O trem viaja da cidade A com aceleração máxima a até certo ponto e a partir deste freia com desaceleração máxima f até parar na cidade B. a) Mostre que o tempo t da viagem é expresso por
t=\sqrt{2 d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}
b) Suponha agora que o percurso foi dividido em três partes sendo que na primeira o veículo desenvolve aceleração máxima a; na segunda o veículo percorre uma distância igual a metade do percurso entre as cidades mantendo velocidade constante, e na
terceira parte ele desenvolve uma desaceleração máxima constante f até parar na cidade B. Mostre que o tempo T da viagem é expresso por T=\frac{3}{8} t.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido, com todos os dados importantes):
  • Um trem parte do repouso na cidade A, percorre em linha reta distância \,d até a cidade B, sem parar.
  • Primeiro o trem acelera com aceleração máxima \,a até um certo ponto; a partir daí freia com desaceleração máxima \,f até parar em B.
  • Pergunta (a): mostrar que o tempo total da viagem é
t=\sqrt{2 d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}.
  • Em (b) o percurso é dividido em três partes: primeira parte com aceleração máxima \,a (saindo do repouso), segunda parte com velocidade constante e comprimento igual a metade do percurso total (isto é, distância d/2 percorrida à velocidade constante), e terceira parte com desaceleração máxima \,f até parar. Pergunta (b): relacionar o tempo total T dessa viagem com t (o tempo do item (a)).
  • Informações úteis dadas: distância total \,d, aceleração máxima \,a, desaceleração máxima \,f. O trem parte do repouso e termina em repouso.

Passo 2

Ferramentas básicas de cinemática que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Para movimento com aceleração constante, temos três fórmulas fundamentais (valem para aceleração a constante, velocidade inicial v_0, velocidade final v, tempo \Delta t e deslocamento \Delta s):
    • \;v = v_0 + a\,\Delta t\; (relação velocidade-tempo),
    • \;\Delta s = v_0\,\Delta t + \tfrac{1}{2} a (\Delta t)^2\; (posições),
    • \;v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta s\; (relação útil que elimina o tempo).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \,v = velocidade final do trecho considerado,
    • \,v_0 = velocidade inicial do trecho,
    • \,a = aceleração (pode ser negativa quando é desaceleração),
    • \,\Delta t = duração do trecho,
    • \,\Delta s = distância percorrida no trecho.
  • A fórmula \;v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta s\; é especialmente prática quando sabemos distâncias e acelerações, mas não queremos introduzir o tempo imediatamente.
  • Exemplo simples para fixar: saindo do repouso ( v_0=0) com aceleração a ao percorrer distância s a velocidade é v=\sqrt{2 a s}. E o tempo gasto é t = v/a = \sqrt{2 s/a}.

Passo 3

Resolvendo (a) — escolha de variáveis e equações iniciais:
  • Seja \,v a velocidade máxima atingida no ponto de transição entre aceleração e frenagem (essa velocidade é alcançada depois de acelerar, e é a velocidade com que o trem entra na fase de frenagem).
  • Distância percorrida durante a aceleração: chamo \,s_1. Como partiu do repouso e acelerou com \,a,
v^2 = 0^2 + 2 a s_1 \quad\Rightarrow\quad s_1 = \frac{v^2}{2a}.
  • Distância percorrida durante a frenagem: chamo \,s_2. Como ao início da frenagem a velocidade é v e termina em repouso com desaceleração f (note que usamos f>0 e consideramos desaceleração como aceleração negativa em sinal), aplicamos a mesma fórmula em módulo:
0^2 = v^2 - 2 f s_2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2 f s_2 \quad\Rightarrow\quad s_2 = \frac{v^2}{2f}.
  • A soma das duas distâncias é a distância total:
s_1 + s_2 = d.
  • Substituindo as expressões de s_1 e s_2:
\frac{v^2}{2a} + \frac{v^2}{2f} = d.

Passo 4

Continue (a) — resolvendo para \,v e encontrando o tempo total:
  • Fatore v^2/2:
\frac{v^2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right) = d.
  • Resolva para v^2:
v^2 = \frac{2d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}.
  • Agora o tempo total t é a soma do tempo de aceleração t_1 e do tempo de frenagem t_2. Saindo do repouso, durante a aceleração v = a t_1 então t_1 = v/a. Durante a frenagem v = f t_2 (em módulo), então t_2 = v/f. Logo
t = t_1 + t_2 = \frac{v}{a} + \frac{v}{f} = v\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right).
  • Substituímos o valor de v (pegando a raiz positiva de v^2):
v = \sqrt{\frac{2d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}}.
  • Portanto
t = \sqrt{\frac{2d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right).
  • Simplificando: o fator \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right) aparece uma vez dentro da raiz no denominador e uma vez fora; isso dá
t=\sqrt{2d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}.
  • Assim mostramos a expressão pedida para (a).

Passo 5

Preparação para (b) — reescrevendo e definindo variáveis:
  • No caso (b) o percurso é dividido em três partes:
    • Parte 1: acelera a partir do repouso com aceleração \,a, percorre distância \,s_1' e atinge velocidade v.
    • Parte 2: mantém velocidade constante v durante distância \,d/2.
    • Parte 3: freia com desaceleração \,f percorrendo distância \,s_3' e termina em repouso.
  • A condição de soma das distâncias agora é
s_1' + \frac{d}{2} + s_3' = d \quad\Rightarrow\quad s_1' + s_3' = \frac{d}{2}.
  • Como antes, pelas mesmas fórmulas de cinemática (partes 1 e 3 são acelerações/ desacelerações constantes) temos:
s_1' = \frac{v^2}{2a}, \qquad s_3' = \frac{v^2}{2f}.

Passo 6

Resolvendo (b) — encontrar \,v e o tempo total T:
  • Somando s_1' e s_3':
\frac{v^2}{2a} + \frac{v^2}{2f} = \frac{d}{2}.
  • Fatore v^2/2:
\frac{v^2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right) = \frac{d}{2}.
  • Multiplique ambos os lados por 2:
v^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right) = d.
  • Assim
v^2 = \frac{d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}.
  • Compare com o caso (a), onde tínhamos v_{\text{(a)}}^2 = \dfrac{2d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}. Aqui v^2 é a metade desse valor, o que faz sentido porque agora a parte total de aceleração+frenagem cobre só metade da distância.
  • Agora o tempo total T na situação (b) é a soma dos três tempos:
    • aceleração: t_1' = v/a,
    • velocidade constante: t_2' = \dfrac{d/2}{v} = \dfrac{d}{2v},
    • frenagem: t_3' = v/f.
  • Portanto
T = \frac{v}{a} + \frac{d}{2v} + \frac{v}{f} = v\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right) + \frac{d}{2v}.
  • Defina S=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right) para clareza. Então v = \sqrt{\dfrac{d}{S}}. Substituindo:
    • primeiro termo: v S = \sqrt{\dfrac{d}{S}} \cdot S = \sqrt{dS},
    • segundo termo: \dfrac{d}{2v} = \dfrac{d}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{d/S}} = \dfrac{d}{2}\sqrt{\dfrac{S}{d}} = \frac{1}{2}\sqrt{dS}.
  • Logo
T = \sqrt{dS} + \frac{1}{2}\sqrt{dS} = \frac{3}{2}\sqrt{dS}.

Passo 7

Expressando T em função de t (resultado pedido) e observação final:
  • No item (a) obtivemos t=\sqrt{2dS} (onde de novo S=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}).
  • Reescrevendo \sqrt{dS} em função de t:
\sqrt{dS} = \frac{t}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo na expressão de T:
T = \frac{3}{2}\sqrt{dS} = \frac{3}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt{2}} = \frac{3t}{2\sqrt{2}}.
  • Podemos racionalizar o denominador se preferir:
\frac{3t}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}\,t.
  • Observação importante (não técnica, só para evitar surpresas): o resultado que derivamos é
T=\frac{3t}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\,t,
que é aproximadamente T\approx 1{,}06066\;t. Ou seja, T é um pouco maior que t (faz sentido físico: inserir um trecho em velocidade constante que ocupa metade da distância aumenta o tempo total em relação ao caso em que se acelera e freia sem trecho de cruzeiro).
  • Se no enunciado você encontrou a afirmação T=\tfrac{3}{8}t, essa relação numérica não é compatível com as equações de cinemática usadas aqui — a relação correta, obtida pelas contas acima, é T=\dfrac{3t}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\,t.

Resposta

t=\sqrt{2 d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}
T=\frac{3t}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\,t

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