Um trem percorre uma distância d entre a cidade A e a cidade B a partir do repouso, sem parar e em linha reta. O trem viaja da cidade A com aceleração máxima a até certo ponto e a partir deste freia com desaceleração máxima f até parar na cidade B. a) Mostre que o tempo t da viagem é expresso por
t=\sqrt{2 d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}
b) Suponha agora que o percurso foi dividido em três partes sendo que na primeira o veículo desenvolve aceleração máxima a; na segunda o veículo percorre uma distância igual a metade do percurso entre as cidades mantendo velocidade constante, e na
terceira parte ele desenvolve uma desaceleração máxima constante f até parar na cidade B. Mostre que o tempo T da viagem é expresso por T=\frac{3}{8} t.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumido, com todos os dados importantes):
Um trem parte do repouso na cidade A, percorre em linha reta distância \,d até a cidade B, sem parar.
Primeiro o trem acelera com aceleração máxima \,a até um certo ponto; a partir daí freia com desaceleração máxima \,f até parar em B.
Pergunta (a): mostrar que o tempo total da viagem é
t=\sqrt{2 d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right)}.
Em (b) o percurso é dividido em três partes: primeira parte com aceleração máxima \,a (saindo do repouso), segunda parte com velocidade constante e comprimento igual a metade do percurso total (isto é, distância d/2 percorrida à velocidade constante), e terceira parte com desaceleração máxima \,f até parar. Pergunta (b): relacionar o tempo total T dessa viagem com t (o tempo do item (a)).
Informações úteis dadas: distância total \,d, aceleração máxima \,a, desaceleração máxima \,f. O trem parte do repouso e termina em repouso.
Passo 2
Ferramentas básicas de cinemática que vamos usar (explicadas devagarinho):
Para movimento com aceleração constante, temos três fórmulas fundamentais (valem para aceleração a constante, velocidade inicial v_0, velocidade final v, tempo \Delta t e deslocamento \Delta s):
\;\Delta s = v_0\,\Delta t + \tfrac{1}{2} a (\Delta t)^2\; (posições),
\;v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta s\; (relação útil que elimina o tempo).
Aqui cada símbolo significa:
\,v = velocidade final do trecho considerado,
\,v_0 = velocidade inicial do trecho,
\,a = aceleração (pode ser negativa quando é desaceleração),
\,\Delta t = duração do trecho,
\,\Delta s = distância percorrida no trecho.
A fórmula \;v^2 = v_0^2 + 2 a\,\Delta s\; é especialmente prática quando sabemos distâncias e acelerações, mas não queremos introduzir o tempo imediatamente.
Exemplo simples para fixar: saindo do repouso (v_0=0) com aceleração a ao percorrer distância s a velocidade é v=\sqrt{2 a s}. E o tempo gasto é t = v/a = \sqrt{2 s/a}.
Passo 3
Resolvendo (a) — escolha de variáveis e equações iniciais:
Seja \,v a velocidade máxima atingida no ponto de transição entre aceleração e frenagem (essa velocidade é alcançada depois de acelerar, e é a velocidade com que o trem entra na fase de frenagem).
Distância percorrida durante a aceleração: chamo \,s_1. Como partiu do repouso e acelerou com \,a,
Distância percorrida durante a frenagem: chamo \,s_2. Como ao início da frenagem a velocidade é v e termina em repouso com desaceleração f (note que usamos f>0 e consideramos desaceleração como aceleração negativa em sinal), aplicamos a mesma fórmula em módulo:
0^2 = v^2 - 2 f s_2 \quad\Rightarrow\quad v^2 = 2 f s_2 \quad\Rightarrow\quad s_2 = \frac{v^2}{2f}.
A soma das duas distâncias é a distância total:
s_1 + s_2 = d.
Substituindo as expressões de s_1 e s_2:
\frac{v^2}{2a} + \frac{v^2}{2f} = d.
Passo 4
Continue (a) — resolvendo para \,v e encontrando o tempo total:
Fatore v^2/2:
\frac{v^2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{f}\right) = d.
Agora o tempo total t é a soma do tempo de aceleração t_1 e do tempo de frenagem t_2. Saindo do repouso, durante a aceleração v = a t_1 então t_1 = v/a. Durante a frenagem v = f t_2 (em módulo), então t_2 = v/f. Logo
Compare com o caso (a), onde tínhamos v_{\text{(a)}}^2 = \dfrac{2d}{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right)}. Aqui v^2 é a metade desse valor, o que faz sentido porque agora a parte total de aceleração+frenagem cobre só metade da distância.
Agora o tempo total T na situação (b) é a soma dos três tempos:
aceleração: t_1' = v/a,
velocidade constante: t_2' = \dfrac{d/2}{v} = \dfrac{d}{2v},
Defina S=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}\right) para clareza. Então v = \sqrt{\dfrac{d}{S}}. Substituindo:
primeiro termo: v S = \sqrt{\dfrac{d}{S}} \cdot S = \sqrt{dS},
segundo termo: \dfrac{d}{2v} = \dfrac{d}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{d/S}} = \dfrac{d}{2}\sqrt{\dfrac{S}{d}} = \frac{1}{2}\sqrt{dS}.
Logo
T = \sqrt{dS} + \frac{1}{2}\sqrt{dS} = \frac{3}{2}\sqrt{dS}.
Passo 7
Expressando T em função de t (resultado pedido) e observação final:
No item (a) obtivemos t=\sqrt{2dS} (onde de novo S=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{f}).
Reescrevendo \sqrt{dS} em função de t:
\sqrt{dS} = \frac{t}{\sqrt{2}}.
Substituindo na expressão de T:
T = \frac{3}{2}\sqrt{dS} = \frac{3}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt{2}} = \frac{3t}{2\sqrt{2}}.
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
\frac{3t}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}\,t.
Observação importante (não técnica, só para evitar surpresas): o resultado que derivamos é
T=\frac{3t}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}\,t,
que é aproximadamente T\approx 1{,}06066\;t. Ou seja, T é um pouco maior que t (faz sentido físico: inserir um trecho em velocidade constante que ocupa metade da distância aumenta o tempo total em relação ao caso em que se acelera e freia sem trecho de cruzeiro).
Se no enunciado você encontrou a afirmação T=\tfrac{3}{8}t, essa relação numérica não é compatível com as equações de cinemática usadas aqui — a relação correta, obtida pelas contas acima, é T=\dfrac{3t}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\,t.