Um armário contém
pares de sapatos. Se
sapatos são escolhidos ao acaso (com
) qual é o número de maneiras em que existam exatamente dois pares completos entre eles?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado diz que temos um armário com
pares de sapatos (ou seja,
sapatos no total) e vamos escolher aleatoriamente
sapatos, com a condição
. A pergunta é: de quantas maneiras podemos fazer essa escolha de modo que apareçam exatamente 2 pares completos entre os
sapatos?
Conteúdo: contagem em combinatória (coeficientes binomiais) e princípio multiplicativo.
O que precisamos saber:
Conteúdo: contagem em combinatória (coeficientes binomiais) e princípio multiplicativo.
O que precisamos saber:
- Como contar escolhas de objetos sem ordem usando
. - Que, quando de um par pegamos só um sapato, há 2 escolhas (esquerdo ou direito), gerando um fator
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos quais são os 2 pares que vão aparecer completos. Há
pares disponíveis e queremos exatamente 2 deles inteiros, então usamos o coeficiente binomial
Essa conta nos dá todas as opções de “quais pares” estarão completos.
Passo 3
Agora, depois de ter selecionado esses 2 pares completos, cada um forneceu 2 sapatos, totalizando
sapatos. Ainda precisamos chegar a
sapatos no total, isto é, faltam
sapatos para escolher.
Mas essa hora não queremos formar pares completos! Ou seja, devemos escolher exatamente sapatos, cada um de um par diferente, dentre os
pares restantes. Primeiro escolhemos quais
pares vão ceder apenas um sapato:
Mas essa hora não queremos formar pares completos! Ou seja, devemos escolher exatamente
Em seguida, de cada um desses pares “selecionados para virar meio par” temos 2 escolhas (sapato esquerdo ou direito), então multiplicamos por
Passo 4
Pelo princípio multiplicativo, basta multiplicar as três partes:
-
escolhas dos pares completos, -
escolhas dos pares que cedem só um sapato, -
maneiras de escolher o lado desses sapatos soltos.