Um armário contém n pares de sapatos. Se 2 r sapatos são escolhidos ao acaso (com 2 r ) qual é o número de maneiras em que existam exatamente dois pares completos entre eles?
Resposta: a:binomn2 r cdot 2^2 r ; b: n cdotbinomn-12 r-2 cdot 2^2 r-2 ; c:binomn2 cdotbinomn-22 r-4 cdot 2^2 r-4

Passo 1

O enunciado diz que temos um armário com pares de sapatos (ou seja, sapatos no total) e vamos escolher aleatoriamente sapatos, com a condição . A pergunta é: de quantas maneiras podemos fazer essa escolha de modo que apareçam exatamente 2 pares completos entre os sapatos?
Conteúdo: contagem em combinatória (coeficientes binomiais) e princípio multiplicativo.
O que precisamos saber:
  • Como contar escolhas de objetos sem ordem usando .
  • Que, quando de um par pegamos só um sapato, há 2 escolhas (esquerdo ou direito), gerando um fator .

Passo 2

Primeiro, escolhemos quais são os 2 pares que vão aparecer completos. Há binomn2 pares disponíveis e queremos exatamente 2 deles inteiros, então usamos o coeficiente binomial
Essa conta nos dá todas as opções de “quais pares” estarão completos.

Passo 3

Agora, depois de ter selecionado esses 2 pares completos, cada um forneceu 2 sapatos, totalizando binom,n-2,,2r-4, sapatos. Ainda precisamos chegar a 2^,2r-4 sapatos no total, isto é, faltam sapatos para escolher.
Mas essa hora não queremos formar pares completos! Ou seja, devemos escolher exatamente sapatos, cada um de um par diferente, dentre os pares restantes. Primeiro escolhemos quais pares vão ceder apenas um sapato:
Em seguida, de cada um desses pares “selecionados para virar meio par” temos 2 escolhas (sapato esquerdo ou direito), então multiplicamos por

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, basta multiplicar as três partes:
  1. escolhas dos pares completos,
  2. escolhas dos pares que cedem só um sapato,
  3. maneiras de escolher o lado desses sapatos soltos.

Resposta

boxedbinomn2;binomn-22r-4;2^2r-4

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