Um armário contém n pares de sapatos. Se 2 r sapatos são escolhidos ao acaso (com 2 r ) qual é o número de maneiras em que não exista par algum completo?
Resposta: a:binomn2 r cdot 2^2 r ; b: n cdotbinomn-12 r-2 cdot 2^2 r-2 ; c:binomn2 cdotbinomn-22 r-4 cdot 2^2 r-4

Passo 1

O problema diz: “Temos pares de sapatos e vamos escolher sapatos (com ). Queremos saber de quantas maneiras podemos fazer isso sem formar nenhum par completo.”
Conteúdo: combinatória básica – combinação , regra do produto e potência.
O que vamos usar:
  • Como contar escolhas de subconjuntos sem ordem ( ).
  • Regra do produto para escolhas independentes.
  • Potências para contar escolhas repetidas (escolher um de dois sapatos em cada par).

Passo 2

Primeiro passo da resolução: escolher de quais pares vamos tirar um sapato.
Para não ter par completo, precisamos pegar sapatos de binomn2r, pares distintos.
Como temos pares e queremos selecionar exatamente pares, o número de jeitos é
onde conta as maneiras de escolher itens dentre sem ordem.

Passo 3

Segundo passo: de cada um dos 2 times 2 times cdots times 2 = 2^2r pares escolhidos, precisamos decidir se pegamos o sapato esquerdo ou o direito.
Cada par oferece 2 escolhas (esquerdo ou direito), e essas escolhas são independentes entre si.
Então, para pares, o total de escolhas de “lado” é

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto: primeiro escolho os binomn2r;times;2^2r pares e depois, dentro de cada par, escolho o lado do sapato.
Multiplicamos os dois resultados:

Resposta

boxedbinomn2rcdot 2^2r

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