Num armazém estão 500 embalagens das quais, 50 se encontram deterioradas. Suponha que é efectuada uma inspeção por uma entidade externa. Essa entidade escolhe uma amostra de 10 embalagens, com reposição e se na amostra houver 3 ou mais embalagens deterioradas o lote é rejeitado e posteriormente destruído.
(a) Qual é a probabilidade da inspeção rejeitar o lote?
(b) Que dimensão deve ter a amostra para que a probabilidade de rejeição seja no máximo 0.05 ?
© Numa amostra de 100 embalagens, quantas se esperaria que estivessem deterioradas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um armazém com 500 embalagens, das quais 50 estão deterioradas. Uma entidade vai inspecionar escolhendo 10 embalagens, uma de cada vez, com reposição. Se na amostra de 10 tiverem 3 ou mais embalagens ruins, todo o lote é rejeitado. Vamos usar probabilidade binomial para resolver as partes (a), (b) e ©. Precisamos entender a teoria por trás da distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em ensaios independentes.

Passo 2

Primeiro, para a parte (a), queremos saber a probabilidade de rejeitar o lote, ou seja, ter 3 ou mais embalagens deterioradas na amostra de 10. Vamos usar a fórmula da distribuição binomial:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
Onde $ P(X=k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ embalagens deterioradas na amostra.

Passo 3

Vamos calcular $ P(X=0) $, $ P(X=1) $ e $ P(X=2) $. A fórmula da binomial é:
P(X=0)
Aqui, $ n = 10 $, $ p = \frac{50}{500} = 0.1 $ (probabilidade de uma embalagem estar deteriorada).
Primeiro, $ P(X=0) $:
P(X=1)

Passo 4

Agora, $ P(X=1) $:
P(X=1)

Passo 5

E $ P(X=2) $:
P(X=2)

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = 0.9298
Então, a probabilidade de rejeitar o lote é:
P(X >= 3) = 1 - 0.9298 = 0.0702

Resposta

A probabilidade da inspeção rejeitar o lote é aproximadamente 7,02%.

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