A frequência de gémeos nas populações europeias é de cerca de 12 em cada 1000 nascimentos. Qual é a probabilidade de que não haja gémeos em 200 nascimentos, (a) usando a distribuição binomial, (b) usando a aproximação de Poisson?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a frequência de gémeos em nascimentos europeus, que é de aproximadamente 12 em cada 1000 nascimentos. A pergunta é: qual a probabilidade de que não haja gémeos em 200 nascimentos? Vamos resolver isso de duas maneiras:
a) Usando a distribuição binomial
b) Usando a aproximação de Poisson
b) Usando a aproximação de Poisson
Para resolver isso, precisamos entender como funcionam essas distribuições de probabilidade e como aplicá-las ao nosso problema.
Passo 2
Parte a: Usando a distribuição binomial
A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um determinado número de sucessos em um número fixo de tentativas, com cada tentativa tendo duas possibilidades: sucesso ou fracasso. No nosso caso:
- Número de tentativas (n): 200 nascimentos
- Probabilidade de sucesso §: 12/1000 = 0,012 (probabilidade de ter gémeos em um nascimento)
- Número de sucessos desejados (k): 0 (queremos a probabilidade de não ter gémeos)
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial, representando o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo:
- Coeficiente binomial (
):
Pois há apenas uma maneira de não ter gémeos em 200 nascimentos.
-
:
Qualquer número elevado a 0 é 1.
-
:
Agora, vamos calcular
.
Usando uma calculadora:
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Ou seja, a probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos é de aproximadamente 9,07% usando a distribuição binomial.
Passo 5
Parte b: Usando a aproximação de Poisson
A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando o número de tentativas (n) é grande e a probabilidade de sucesso § é pequena, de tal forma que o produto λ = n × p é moderado.
No nosso caso:
- λ = n × p = 200 × 0,012 = 2,4
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Queremos a probabilidade de k = 0 gémeos:
Calculando:
Passo 6
Portanto, usando a aproximação de Poisson, a probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos também é de aproximadamente 9,07%.
Resposta
A probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos é de aproximadamente 9,07% tanto usando a distribuição binomial quanto usando a aproximação de Poisson.