A frequência de gémeos nas populações europeias é de cerca de 12 em cada 1000 nascimentos. Qual é a probabilidade de que não haja gémeos em 200 nascimentos, (a) usando a distribuição binomial, (b) usando a aproximação de Poisson?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a frequência de gémeos em nascimentos europeus, que é de aproximadamente 12 em cada 1000 nascimentos. A pergunta é: qual a probabilidade de que não haja gémeos em 200 nascimentos? Vamos resolver isso de duas maneiras:
a) Usando a distribuição binomial
b) Usando a aproximação de Poisson
Para resolver isso, precisamos entender como funcionam essas distribuições de probabilidade e como aplicá-las ao nosso problema.

Passo 2

Parte a: Usando a distribuição binomial
A distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de um determinado número de sucessos em um número fixo de tentativas, com cada tentativa tendo duas possibilidades: sucesso ou fracasso. No nosso caso:
  • Número de tentativas (n): 200 nascimentos
  • Probabilidade de sucesso §: 12/1000 = 0,012 (probabilidade de ter gémeos em um nascimento)
  • Número de sucessos desejados (k): 0 (queremos a probabilidade de não ter gémeos)
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, representando o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. Coeficiente binomial ( binomnk):
binom2000 = 1
Pois há apenas uma maneira de não ter gémeos em 200 nascimentos.
  1. p^k:
0,012^0 = 1
Qualquer número elevado a 0 é 1.
  1. (1 - p)^n - k:
(1 - 0,012)^200 = 0,988^200
Agora, vamos calcular 0,988^200.
Usando uma calculadora:
0,988^200 approx e^-200 times 0,012 = e^-2,4 approx 0,090717953

Passo 4

Agora, juntando tudo:
P(0) = 1 times 1 times 0,090717953 approx 0,0907
Ou seja, a probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos é de aproximadamente 9,07% usando a distribuição binomial.

Passo 5

Parte b: Usando a aproximação de Poisson
A distribuição de Poisson é uma aproximação da distribuição binomial quando o número de tentativas (n) é grande e a probabilidade de sucesso § é pequena, de tal forma que o produto λ = n × p é moderado.
No nosso caso:
  • λ = n × p = 200 × 0,012 = 2,4
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = e^-λ times λ^kk!
Queremos a probabilidade de k = 0 gémeos:
P(0) = e^-2,4 times 2,4^00! = e^-2,4 times 1 / 1 = e^-2,4
Calculando:
e^-2,4 approx 0,090717953

Passo 6

Portanto, usando a aproximação de Poisson, a probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos também é de aproximadamente 9,07%.

Resposta

A probabilidade de não haver gémeos em 200 nascimentos é de aproximadamente 9,07% tanto usando a distribuição binomial quanto usando a aproximação de Poisson.

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