Coloca-se um rato na entrada de um labirinto. O rato anda às voltas no labirinto, saindo do labirinto ao fim de cada volta com probabilidade p. Calcule a probabilidade :
a) do rato sair ao fim de 4 voltas
b) o rato sair depois de ter dado no máximo 4 voltas.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um rato que entra num labirinto e, a cada volta que dá, tem uma chance de sair do labirinto com probabilidade $ p $. Precisamos calcular duas coisas:
a) A probabilidade do rato sair do labirinto exatamente no final da 4ª volta.
b) A probabilidade do rato sair do labirinto depois de no máximo 4 voltas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição geométrica, que é útil para modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso em experimentos de Bernoulli (onde há apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso).

Passo 2

Vamos primeiro resolver a parte (a): a probabilidade do rato sair ao fim de 4 voltas.
Aqui, queremos que o rato não saia nas primeiras 3 voltas e só saia na 4ª. Para isso, a probabilidade de não sair em uma volta é $ 1 - p $. Então, a probabilidade de não sair nas 3 primeiras voltas é $ (1 - p)^3 $. E a probabilidade de sair na 4ª volta é $ p $.
Multiplicando essas probabilidades, temos:
1 - p ª

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): a probabilidade do rato sair depois de no máximo 4 voltas.
Isso significa que o rato pode sair na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª volta. Para calcular isso, vamos somar as probabilidades de sair em cada uma dessas voltas.
Usando a mesma lógica da parte (a):
P(sair na 1ª voª
P(sair na 2ª voª
P(sair na 3ª voª
P(sair na 4ª voª
Somando todas essas probabilidades:
P(sair em no máximo 4 voá
Podemos fatorar $ p $ e simplificar:
p

Resposta

a) A probabilidade do rato sair ao fim de 4 voltas é $ (1 - p)^3 \times p $.
b) A probabilidade do rato sair depois de no máximo 4 voltas é $ p \times [1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + (1 - p)^3] $.

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