Considere uma população na qual 4 % dos indivíduos medem menos de 1.6 m e 12 % medem mais de 1.8 m . Supondo que a altura dessa população segue uma distribuição normal, determine, com 3 casas decimais, os parâmetros dessa distribuição.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma população onde 4% das pessoas têm altura menor que 1,6 metros e 12% têm altura maior que 1,8 metros. Queremos encontrar os parâmetros dessa distribuição normal, ou seja, a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, percentis e a tabela da distribuição normal padrão (z).

Passo 2

Primeiro, entendemos que a distribuição das alturas segue uma distribuição normal. Isso significa que podemos usar a tabela z para encontrar os valores correspondentes aos percentis dados.

Passo 3

Vamos encontrar os valores z que correspondem aos percentis fornecidos. Para 4% das pessoas terem altura menor que 1,6 metros, procuramos o valor z tal que P(Z < z1) = 0,04. Usando a tabela z, encontramos z1 approx -1,751.

Passo 4

Da mesma forma, para 12% das pessoas terem altura maior que 1,8 metros, queremos P(Z > z2) = 0,12. Isso equivale a P(Z < z2) = 0,88. Buscando na tabela z, encontramos z2 approx 1,175.

Passo 5

Agora, usamos a relação entre a altura, a média e o desvio padrão da distribuição normal:
1,6 - musigma = z1 e 1,8 - musigma = z2
Isso nos dá um sistema de duas equações:
1,6 = mu + z1 sigma
1,8 = mu + z2 sigma

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
1,8 - 1,6 = (mu + z2 sigma) - (mu + z1 sigma)
0,2 = (z2 - z1) sigma
Substituindo os valores de z1 e z2:
0,2 = (1,175 - (-1,751)) sigma
0,2 = 2,926 sigma
Resolvendo para sigma:
sigma = 0,22,926 approx 0,068

Passo 7

Agora, substituímos o valor de sigma em uma das equações para encontrar mu. Usando a primeira equação:
1,6 = mu + (-1,751)(0,068)
1,6 = mu - 0,119
mu = 1,6 + 0,119 = 1,719

Resposta

A distribuição normal tem média mu = 1,719 metros e desvio padrão sigma = 0,068 metros.

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