Um armazém temporário pode ser construído por ( $10) milhões, sendo que seu valor residual quando desativado é igual a zero. O valor anual das receitas com a venda de espaço para estocagem menos custo de manutenção e operação é estimado em $ 3 milhões. Se a TMAR é de 10) milhões, sendo que seu valor residual quando desativado é igual a zero O valor anual das receitas com a venda de espaço para estoca>=m menos custo de manutenção e operação é estimado em aa e o armazém for usado por 8 anos, será que o investimento interessa? Qual a vida útil mínima para a construção ser interessante?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem um investimento de $10 milhões hoje (valor residual zero) e, todo ano, entra $3 milhões de receitas líquidas. A TMAR é de 13% ao ano. Queremos saber:
  1. Se, usando esse armazém por 8 anos, o VPL (valor presente líquido) é positivo (ou seja, se “interessa”).
  2. Qual é a menor vida útil (número de anos) para que o VPL fique ≥ 0 (ou seja, valha a pena).
    Isso faz parte de Engenharia Econômica: vamos usar a fórmula do VPL e a série uniforme (fator P/A).

Passo 2

Calcular o VPL para 8 anos.
  1. Teoria rápida:
    • VPL = –C₀ + A · (P/A, i, n), onde
      • C₀ = investimento inicial = 10
      • A = recebimento anual = 3
      • i = 13% = 0,13
      • n = 8 anos
    • (P/A, i, n) = [1 – (1+i)^(-n)] / i
  2. Vamos substituir:
    (P/A, 0{,}13, 8) = \frac{1 - (1{,}13)^{-8}}{0{,}13}
    Calculando (1,13)^{-8} ≈ 0{,}3763, então
    (P/A,0{,}13,8) ≈ \frac{1 - 0{,}3763}{0{,}13} ≈ \frac{0{,}6237}{0{,}13} ≈ 4{,}7977
  3. VPL = –10 + 3 · 4{,}7977 ≈ –10 + 14{,}393 = 4{,}393 (> 0)
    Como VPL > 0, o investimento de 8 anos interessa.

Passo 3

A gente quer achar o menor n tal que VPL ≥ 0, ou seja:
–10 + 3 · \frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ 0
Resolvendo:
\frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ \frac{10}{3} ≈ 3{,}3333
1 - (1{,}13)^{-n} ≥ 0{,}13 · 3{,}3333 = 0{,}4333
(1{,}13)^{-n} ≤ 1 - 0{,}4333 = 0{,}5667
-n · \ln(1{,}13) ≤ \ln(0{,}5667)
n ≥ \frac{-\ln(0{,}5667)}{\ln(1{,}13)} ≈ \frac{0{,}5676}{0{,}1220} ≈ 4{,}65
Como n tem que ser inteiro de anos, n mínimo = 5 anos.

Resposta

  1. Com 8 anos, VPL ≈ $4,393 milhões > 0, então interessa.
  2. A vida útil mínima para o investimento ser interessante é de 5 anos.

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