Um armazém temporário pode ser construído por ( $10) milhões, sendo que seu valor residual quando desativado é igual a zero. O valor anual das receitas com a venda de espaço para estocagem menos custo de manutenção e operação é estimado em $ 3 milhões. Se a TMAR é de
aa e o armazém for usado por 8 anos, será que o investimento interessa? Qual a vida útil mínima para a construção ser interessante?
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que a gente tem um investimento de $10 milhões hoje (valor residual zero) e, todo ano, entra $3 milhões de receitas líquidas. A TMAR é de 13% ao ano. Queremos saber:
- Se, usando esse armazém por 8 anos, o VPL (valor presente líquido) é positivo (ou seja, se “interessa”).
- Qual é a menor vida útil (número de anos) para que o VPL fique ≥ 0 (ou seja, valha a pena).
Isso faz parte de Engenharia Econômica: vamos usar a fórmula do VPL e a série uniforme (fator P/A).
Passo 2
Calcular o VPL para 8 anos.
- Teoria rápida:
- VPL = –C₀ + A · (P/A, i, n), onde
- C₀ = investimento inicial = 10
- A = recebimento anual = 3
- i = 13% = 0,13
- n = 8 anos
- (P/A, i, n) = [1 – (1+i)^(-n)] / i
- VPL = –C₀ + A · (P/A, i, n), onde
- Vamos substituir:
(P/A, 0{,}13, 8) = \frac{1 - (1{,}13)^{-8}}{0{,}13}
Calculando (1,13)^{-8} ≈ 0{,}3763, então
(P/A,0{,}13,8) ≈ \frac{1 - 0{,}3763}{0{,}13} ≈ \frac{0{,}6237}{0{,}13} ≈ 4{,}7977 - VPL = –10 + 3 · 4{,}7977 ≈ –10 + 14{,}393 = 4{,}393 (> 0)
Como VPL > 0, o investimento de 8 anos interessa.
Passo 3
A gente quer achar o menor n tal que VPL ≥ 0, ou seja:
–10 + 3 · \frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ 0
Resolvendo:
\frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ \frac{10}{3} ≈ 3{,}3333
1 - (1{,}13)^{-n} ≥ 0{,}13 · 3{,}3333 = 0{,}4333
(1{,}13)^{-n} ≤ 1 - 0{,}4333 = 0{,}5667
-n · \ln(1{,}13) ≤ \ln(0{,}5667)
n ≥ \frac{-\ln(0{,}5667)}{\ln(1{,}13)} ≈ \frac{0{,}5676}{0{,}1220} ≈ 4{,}65
Como n tem que ser inteiro de anos, n mínimo = 5 anos.
–10 + 3 · \frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ 0
Resolvendo:
\frac{1 - (1{,}13)^{-n}}{0{,}13} ≥ \frac{10}{3} ≈ 3{,}3333
1 - (1{,}13)^{-n} ≥ 0{,}13 · 3{,}3333 = 0{,}4333
(1{,}13)^{-n} ≤ 1 - 0{,}4333 = 0{,}5667
-n · \ln(1{,}13) ≤ \ln(0{,}5667)
n ≥ \frac{-\ln(0{,}5667)}{\ln(1{,}13)} ≈ \frac{0{,}5676}{0{,}1220} ≈ 4{,}65
Como n tem que ser inteiro de anos, n mínimo = 5 anos.
Resposta
- Com 8 anos, VPL ≈ $4,393 milhões > 0, então interessa.
- A vida útil mínima para o investimento ser interessante é de 5 anos.