Arnaldo dá a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e dá a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o mesmo. Terminam todos com R \ 24,00$. Obtenha o sistema de equações lineares que descreve as transações acima e a sua solução, ou seja, quanto cada um possuia no início.

Passo 1

Vamos chamar de A, B e C as quantias iniciais (em reais) que Arnaldo, Beatriz e Carlos tinham, respectivamente. O problema descreve três rodadas de transferências em que cada um dá aos outros fortunas iguais às que eles possuem no momento. No final, cada um fica com R\$24,00. Precisamos modelar isso passo a passo, montar um sistema linear em A,B,C e resolvê-lo.

Passo 2

Arnaldo primeiro dá a Beatriz uma quantia igual a B e a Carlos uma quantia igual a C. Sejam
A_{1}=A - B - C,\quad B_{1}=B + B=2B,\quad C_{1}=C + C=2C.

Passo 3

Em seguida Beatriz dá a Arnaldo uma quantia igual a A_{1} e a Carlos uma quantia igual a C_{1}. Chamando os saldos após essa etapa de A_{2},B_{2},C_{2}, temos
A_{2}=A_{1}+A_{1}=2A_{1},\quad B_{2}=B_{1}-A_{1}-C_{1},\quad C_{2}=C_{1}+C_{1}=2C_{1}.
Substituindo A_{1},B_{1},C_{1}:
A_{2}=2(A - B - C),\quad B_{2}=-A + 3B - C,\quad C_{2}=4C.

Passo 4

Por fim Carlos dá a Arnaldo uma quantia igual a A_{2} e a Beatriz uma quantia igual a B_{2}. Chamando de A_{3},B_{3},C_{3} os saldos finais,
A_{3}=A_{2}+A_{2}=2A_{2},\quad B_{3}=B_{2}+B_{2}=2B_{2},\quad C_{3}=C_{2}-A_{2}-B_{2}.
Substituindo A_{2},B_{2},C_{2} e simplificando:
A_{3}=4(A - B - C),\quad B_{3}=-2A + 6B - 2C,\quad C_{3}=-A - B + 7C.
Como ao final cada um tem R\$24,00, impomos
4(A - B - C)=24
-2A + 6B - 2C=24
-A - B + 7C=24
ou, dividindo as duas primeiras equações por 4 e 2, respectivamente:
A - B - C=6
-A + 3B - C=12
-A - B + 7C=24.

Passo 5

Resolvendo
da primeira A=6+B+C.
Substituindo na segunda:
-(6+B+C)+3B - C=12\;\Longrightarrow\;2B-2C=18\;\Longrightarrow\;B-C=9.
Substituindo A na terceira:
-(6+B+C)-B+7C=24\;\Longrightarrow\;-2B+6C=30\;\Longrightarrow\;-B+3C=15\;\Longrightarrow\;B=3C-15.
De B-C=9 com B=3C-15 vem
3C-15 - C=9\;\Longrightarrow\;2C=24\;\Longrightarrow\;C=12,
de onde B=3\cdot12-15=21 e A=6+21+12=39.

Resposta

Arnaldo tinha R\$39,00, Beatriz tinha R\$21,00 e Carlos tinha R\$12,00 no início.

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