Arnaldo dá a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e dá a Carlos tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz dá a Arnaldo e a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o mesmo. Terminam todos com R
24,00$. Obtenha o sistema de equações lineares que descreve as transações acima e a sua solução, ou seja, quanto cada um possuia no início.
Passo 1
Vamos chamar de
,
e
as quantias iniciais (em reais) que Arnaldo, Beatriz e Carlos tinham, respectivamente. O problema descreve três rodadas de transferências em que cada um dá aos outros fortunas iguais às que eles possuem no momento. No final, cada um fica com
. Precisamos modelar isso passo a passo, montar um sistema linear em
e resolvê-lo.
Passo 2
Arnaldo primeiro dá a Beatriz uma quantia igual a
e a Carlos uma quantia igual a
. Sejam
Passo 3
Em seguida Beatriz dá a Arnaldo uma quantia igual a
e a Carlos uma quantia igual a
. Chamando os saldos após essa etapa de
, temos
Substituindo
:
Passo 4
Por fim Carlos dá a Arnaldo uma quantia igual a
e a Beatriz uma quantia igual a
. Chamando de
os saldos finais,
Substituindo
e simplificando:
Como ao final cada um tem
, impomos
ou, dividindo as duas primeiras equações por
e
, respectivamente:
Passo 5
Resolvendo
da primeira .
Substituindo na segunda:
da primeira
Substituindo na segunda:
Substituindo
na terceira:
De
com
vem
de onde
e
.
Resposta
Arnaldo tinha
, Beatriz tinha
e Carlos tinha
no início.