Um aro de 140 Kg rola em um piso horizontal de tal forma que seu centro de massa tem uma velocidade de 0,150 m/s. Qual é o trabalho necessário para fazê-lo parar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um aro que pesa 140 kg rolando num chão horizontal, e o centro de massa dele está se movendo a 0,150 m/s. O que queremos descobrir é quanto trabalho é necessário para parar esse aro. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de energia cinética tanto na translação (movimento do centro de massa) quanto na rotação (giro do aro). Vamos precisar usar fórmulas de energia cinética e entender como elas se aplicam nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o aro está em movimento translacional e rotacional ao mesmo tempo. Isso significa que ele tem energia cinética devido ao seu movimento de translação e também devido à sua rotação. Para calcular o trabalho necessário para pará-lo, precisamos calcular a energia cinética total e depois ver quanto trabalho é preciso para eliminar essa energia.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética translacional (de movimento para frente). A fórmula para energia cinética translacional é:
Onde:
- $ m $ é a massa do aro (140 kg)
- $ v $ é a velocidade do centro de massa (0,150 m/s)
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional (de rotação). Para isso, precisamos do momento de inércia ($ I
\omega $). Para um aro, o momento de inércia é:
Onde:
- $ m $ é a massa (140 kg)
- $ r $ é o raio do aro
No entanto, o problema não nos dá o raio diretamente. Mas sabemos que o aro está rolando sem deslizar, então podemos relacionar a velocidade linear ($ v
\omega $) pela fórmula:
A energia cinética rotacional é:
Então, na verdade, para um aro rolando sem deslizar:
Passo 5
Agora que sabemos que a energia cinética rotacional é igual à translacional para esse aro, a energia cinética total ($ KE_{total} $) é a soma das duas:
Passo 6
O trabalho necessário para parar o aro é igual à energia cinética total que ele possui, já que o trabalho vai remover toda essa energia. Então:
Resposta
O trabalho necessário para fazer o aro parar é de 3,15 joules.