A peça de uma máquina está se movendo em MHS com uma frequência igual a 5 Hz e amplitude igual a 1,8 cm. Quanto tempo leva para a peça ir de x = 0 até x = -1,8 cm?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma peça que está se movendo em Movimento Harmônico Simples (MHS). A frequência dessa peça é de 5 Hz e a amplitude é de 1,8 cm. O que queremos descobrir é quanto tempo ela leva para ir de x = 0 até x = -1,8 cm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no MHS, a posição da peça em função do tempo é dada por:
x(t) = A cdot cos(2pi f t + phi)
onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ f $ é a frequência,
- $ t $ é o tempo,
- $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 3

Como não temos informação sobre a fase inicial, vamos assumir que no tempo $ t = 0 $, a peça está na posição $ x = A $. Então, a equação fica:
t = 0

Passo 4

Queremos saber o tempo que leva para a peça ir de $ x = 0 $ até $ x = -A $, ou seja, de 0 até -1,8 cm. Vamos primeiro encontrar o tempo quando $ x(t) = 0 $.
x = 0
x = -A

Passo 5

A função cosseno é zero quando seu argumento é $ \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro. Vamos considerar o primeiro tempo positivo onde isso acontece:
pi2 + npi
n

Passo 6

Substituindo a frequência $ f = 5 $ Hz:
f = 5
t = 14 times 5 = 120 segundos

Passo 7

Agora, queremos o tempo para ir de $ x = 0 $ até $ x = -A $. O deslocamento de 0 até -A corresponde a um quarto do período completo, que já calculamos como 0,05 segundos.

Resposta

O tempo levado para a peça ir de x = 0 até x = -1,8 cm é de 0,05 segundos.

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