Um aro circular de raio R está apoiado em sua periferia sobre um prego preso a uma parede sem atrito. Calcule o período das pequenas oscilações do aro em torno do ponto de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado descreve um aro circular de massa m e raio R preso por um prego em sua periferia, sem atrito, e pede o período das pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio vertical. Isto é um problema de pêndulo físico, em que precisamos de (a) torque restaurador para pequenas oscilações e (b) momento de inércia do aro em relação ao ponto de apoio.

Passo 2

Determine o torque restaurador. O peso mg atua no centro do aro, a uma distância R do ponto de apoio, gerando torque
\tau = -\,mgR\sin\theta \approx -\,mgR\,\theta
para pequenos deslocamentos \theta, pois \sin\theta\approx\theta.

Passo 3

Calcule o momento de inércia do aro em relação ao ponto de apoio. O momento de inércia em torno do centro é
I_{\text{cm}} = mR^2,
e por teorema dos eixos paralelos, passando o eixo para a periferia (distância R),
I = I_{\text{cm}} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2\,mR^2.

Passo 4

Escreva a equação do movimento para pequenas oscilações:
I\,\theta'' + mgR\,\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta'' + \frac{mgR}{I}\,\theta = 0.
Substituindo I=2mR^2 obtém-se
\omega^2 = \frac{mgR}{2mR^2} = \frac{g}{2R},
logo a frequência angular é \omega=\sqrt{\tfrac{g}{2R}} e o período vale
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}.

Resposta

O período das pequenas oscilações é
T = 2\pi\sqrt{\frac{2R}{g}}.

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