Se um aro de mesma massa e mesmo raio ( I=M R^2) descesse a rampa, o tempo gasto seria maior ou menor? Por que?
12. Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(0, t^2, t^2), r2=(t, t^3, 0).
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?

Passo 1

Beleza, o enunciado tem duas partes:
  1. Se um aro (hula-hoop) de mesma massa e raio, com momento de inércia boldsymbol r1=(0,,t^2,,t^2), boldsymbol r2=(t,,t^3,,0) , rolasse sem deslizar por uma rampa, ele desceria em mais ou menos tempo comparado a, digamos, um cilindro sólido? Por quê?
  2. Duas partículas (massa ) têm posições
Queremos achar o vetor velocidade e aceleração de cada uma.
Conteúdo: energia rotacional e conservação de energia (para o aro); e derivadas de vetores (para as partículas).

Passo 2

Explicando a parte do aro:
– Quando um corpo rola sem deslizar, a energia potencial mgh = tfrac12mv^2 + tfrac12l(MR^2r)l( vrr)^2 = tfrac12mv^2 + tfrac12m v^2 = m v^2 vira energia cinética de translação mgh = tfrac12mv^2 + tfrac12l(tfrac12MR^2r)l( vRr)^2 = tfrac12mv^2 + tfrac14mv^2 = tfrac34mv^2 Rightarrow v=raiztfrac43,gh, mais energia cinética de rotação .
– Como , escrevemos
Logo .
Se compararmos com um cilindro sólido ( ), teríamos
que é maior. Mais velocidade significa menos tempo.
Conclusão: como o aro tem maior, sobra menos energia pra translação, é menor e, portanto, ele demora mais.

Passo 3

Agora as partículas:
Definição:
boldsymbol v1 = l(0,;2t,;2tr), boldsymbol a1 = l(0,;2,;2r) ,
boldsymbol v2 = l(1,;3t^2,;0r), boldsymbol a2 = l(0,;6t,;0r) .
Para :
Para :

Resposta

  1. O aro leva mais tempo para descer do que um cilindro sólido de mesma massa e raio, porque o momento de inércia é maior e, então, maior parte da energia vira rotação em vez de translação, reduzindo .

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