Se um aro de mesma massa e mesmo raio (
) descesse a rampa, o tempo gasto seria maior ou menor? Por que?
12. Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
.
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
12. Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg, cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
k) Qual o vetor velocidade e o vetor aceleração de cada partícula?
Passo 1
Beleza, o enunciado tem duas partes:
- Se um aro (hula-hoop) de mesma massa e raio, com momento de inércia
, rolasse sem deslizar por uma rampa, ele desceria em mais ou menos tempo comparado a, digamos, um cilindro sólido? Por quê? - Duas partículas (massa
) têm posições
Queremos achar o vetor velocidade
e aceleração
de cada uma.
Conteúdo: energia rotacional e conservação de energia (para o aro); e derivadas de vetores (para as partículas).
Conteúdo: energia rotacional e conservação de energia (para o aro); e derivadas de vetores (para as partículas).
Passo 2
Explicando a parte do aro:
– Quando um corpo rola sem deslizar, a energia potencial vira energia cinética de translação
mais energia cinética de rotação
.
– Como , escrevemos
– Quando um corpo rola sem deslizar, a energia potencial
– Como
Logo
.
Se compararmos com um cilindro sólido ( ), teríamos
Se compararmos com um cilindro sólido (
que é maior. Mais velocidade significa menos tempo.
Conclusão: como o aro tem
maior, sobra menos energia pra translação,
é menor e, portanto, ele demora mais.
Passo 3
Agora as partículas:
Definição:
,
.
Definição:
Para
:
Para
:
Resposta
- O aro leva mais tempo para descer do que um cilindro sólido de mesma massa e raio, porque o momento de inércia
é maior e, então, maior parte da energia vira rotação em vez de translação, reduzindo .