Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento
, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas
.
obtenha novamente
para o caso em que
y (reta infinita de carga).
obtenha novamente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico
gerado por um bastão (ou reta finita de carga) que é muito longo, praticamente infinito comparado à distância
onde estamos calculando o campo. O bastão tem comprimento
e uma densidade linear de carga uniforme
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e o princípio da superposição dos campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma reta finita de carga, o campo elétrico em um ponto a uma distância
perpendicular ao centro da reta pode ser calculado integrando os campos de pequenos pedaços de carga ao longo do bastão. A densidade linear de carga
nos diz quanta carga há por unidade de comprimento.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento
no bastão, localizado a uma distância
do centro. A carga desse elemento é
. O campo elétrico gerado por esse elemento no ponto P a uma distância
será
, onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto P, e
é o vetor unitário nessa direção.
Passo 4
No nosso caso,
. Mas como o bastão é muito longo (
), podemos considerar o limite quando
tende ao infinito. Nesse caso, os limites de integração vão de
a
.
Passo 5
Como o bastão é infinito, a simetria nos ajuda bastante. O componente horizontal do campo elétrico (ao longo do bastão) se cancela devido à simetria, restando apenas o componente vertical. Então, vamos integrar apenas a componente vertical dos campos elétricos gerados por cada elemento de carga.
Passo 6
A componente vertical de
é
.
Passo 7
Agora, integramos
de
a
:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para resolver a integral. Seja
, então
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
A integral que sobra é uma integral padrão:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O campo elétrico
para uma reta infinita de carga é dado por:
Onde
indica que o campo está na direção perpendicular à reta de carga.