Considere um bastão (também chamado de reta finita de carga) de diâmetro desprezível, de comprimento L, uniformemente carregado com uma densidade linear de cargas lambda.
obtenha novamente E para o caso em que L gg y (reta infinita de carga).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico E gerado por um bastão (ou reta finita de carga) que é muito longo, praticamente infinito comparado à distância y onde estamos calculando o campo. O bastão tem comprimento L e uma densidade linear de carga uniforme lambda. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e o princípio da superposição dos campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma reta finita de carga, o campo elétrico em um ponto a uma distância y perpendicular ao centro da reta pode ser calculado integrando os campos de pequenos pedaços de carga ao longo do bastão. A densidade linear de carga lambda nos diz quanta carga há por unidade de comprimento.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento dx no bastão, localizado a uma distância x do centro. A carga desse elemento é dq = lambda dx. O campo elétrico gerado por esse elemento no ponto P a uma distância y será dE = 14piepsilon0 dqr^2 r, onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P, e r é o vetor unitário nessa direção.

Passo 4

No nosso caso, r = raizx^2 + y^2. Mas como o bastão é muito longo ( L gg y), podemos considerar o limite quando L tende ao infinito. Nesse caso, os limites de integração vão de - infty a + infty.

Passo 5

Como o bastão é infinito, a simetria nos ajuda bastante. O componente horizontal do campo elétrico (ao longo do bastão) se cancela devido à simetria, restando apenas o componente vertical. Então, vamos integrar apenas a componente vertical dos campos elétricos gerados por cada elemento de carga.

Passo 6

A componente vertical de dE é dEy = dE cdot yr = 14piepsilon0 lambda dxx^2 + y^2 cdot yraizx^2 + y^2 = 14piepsilon0 lambda y dx(x^2 + y^2)^3/2.

Passo 7

Agora, integramos dEy de x = -infty a x = +infty:
Ey = integral-infty^+infty 14piepsilon0 lambda y(x^2 + y^2)^3/2 dx

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para resolver a integral. Seja u = x/y, então dx = y du. Substituindo:
Simplificando:
Ey = lambda y4piepsilon0 integral-infty^+infty y du(y^2 u^2 + y^2)^3/2 = lambda y4piepsilon0 integral-infty^+infty y duy^3 (u^2 + 1)^3/2

Passo 9

A integral que sobra é uma integral padrão:
integral-infty^+infty du(u^2 + 1)^3/2 = 21^2 = 2

Passo 10

Substituindo de volta:
Ey = lambda4piepsilon0 y cdot 2 = lambda2piepsilon0 y

Resposta

O campo elétrico E para uma reta infinita de carga é dado por:
E = lambda2piepsilon0 y y
Onde y indica que o campo está na direção perpendicular à reta de carga.

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