Um aro que rola para baixo sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação
fica lado a lado com um bloco que desliza sobre o mesmo plano. Mostre que o cocficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um aro que está rolando descendo por um plano inclinado com um ângulo de inclinação
. Junto com esse aro, tem um bloco que está deslizando pelo mesmo plano. A parada é descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético (
) entre o bloco e o plano, e a gente precisa mostrar que esse coeficiente é igual a metade da tangente do ângulo
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, como forças, acelerações e atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o aro que está rolando. Quando um objeto rola sem deslizar, a aceleração do centro de massa está relacionada à aceleração angular. A força da gravidade que age no aro pode ser decomposta em duas partes: uma paralela ao plano (
) que faz o aro descer, e outra perpendicular (
) que é equilibrada pela força normal.
Passo 3
Agora, considerando que o aro está rolando sem deslizar, temos que a força de atrito estática está fazendo a diferença aqui. A equação de movimento para o aro fica:
E o torque devido ao atrito estático é:
Como para um aro, o momento de inércia
e a relação entre a aceleração angular
e a linear
é
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação do torque:
Voltando à equação de movimento:
Passo 5
Agora, vamos analisar o bloco que está deslizando. A única força que faz ele acelerar é a componente da gravidade paralela ao plano menos a força de atrito:
Sabemos que
, e
. Então:
Substituindo a aceleração
que encontramos anteriormente:
Simplificando:
Dividindo tudo por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é
.