Um aro que rola para baixo sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação theta fica lado a lado com um bloco que desliza sobre o mesmo plano. Mostre que o cocficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é dado por mue=12 tg theta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um aro que está rolando descendo por um plano inclinado com um ângulo de inclinação theta. Junto com esse aro, tem um bloco que está deslizando pelo mesmo plano. A parada é descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético ( mue) entre o bloco e o plano, e a gente precisa mostrar que esse coeficiente é igual a metade da tangente do ângulo theta, ou seja, mue=12 tg theta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, como forças, acelerações e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o aro que está rolando. Quando um objeto rola sem deslizar, a aceleração do centro de massa está relacionada à aceleração angular. A força da gravidade que age no aro pode ser decomposta em duas partes: uma paralela ao plano ( mg sin theta) que faz o aro descer, e outra perpendicular ( mg cos theta) que é equilibrada pela força normal.

Passo 3

Agora, considerando que o aro está rolando sem deslizar, temos que a força de atrito estática está fazendo a diferença aqui. A equação de movimento para o aro fica:
mg sin theta - Fatrito = m a
E o torque devido ao atrito estático é:
Fatrito cdot R = I alpha
Como para um aro, o momento de inércia I = m R^2 e a relação entre a aceleração angular alpha e a linear a é alpha = aR.

Passo 4

Substituindo I e alpha na equação do torque:
Fatrito cdot R = m R^2 cdot aR Rightarrow Fatrito = m a
Voltando à equação de movimento:
mg sin theta - m a = m a Rightarrow mg sin theta = 2 m a Rightarrow a = g sin theta2

Passo 5

Agora, vamos analisar o bloco que está deslizando. A única força que faz ele acelerar é a componente da gravidade paralela ao plano menos a força de atrito:
mg sin theta - Fatrito = m a
Sabemos que Fatrito = mue cdot N, e N = mg cos theta. Então:
mg sin theta - mue mg cos theta = m a
Substituindo a aceleração a que encontramos anteriormente:
mg sin theta - mue mg cos theta = m ( g sin theta2 )
Simplificando:
g sin theta - mue g cos theta = g sin theta2
Dividindo tudo por g:
sin theta - mue cos theta = sin theta2
Subtraindo sin theta2 de ambos os lados:
sin theta2 = mue cos theta
Dividindo ambos os lados por cos theta:
mue = sin theta2 cos theta = 12 tan theta

Resposta

O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é mue=12 tg theta.

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