Um arqueiro atira 30 flechas. Se uma em cada sete flechas disparadas atinge o alvo, qual a chance de ele acertar:
na 30^a vez, sendo sendo esse seu 10^circ acerto?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando: o enunciado diz que um arqueiro dá 30 tiros, cada tiro acerta com probabilidade . A pergunta é: “qual a chance de o 30º tiro ser um acerto e esse acerto ser justamente o 10º dele?”
Conteúdo: probabilidade de sucessos em ensaios independentes (Bernoulli) e distribuição binomial negativa.
O que vamos precisar:
  • Entender que cada flechada é um ensaio de Bernoulli (sucesso = acerto com prob , fracasso = erro com prob ).
  • Saber usar coeficiente binomial .
  • Montar o raciocínio de “10º acerto no 30º tiro” (binomial negativa).

Passo 2

Modelagem dos tiros:
  • Cada tiro é independente, com e .
  • Para que o 10º acerto ocorra exatamente no tiro 30, precisamos de:
    1. Exatamente 9 acertos nos primeiros 29 tiros.
    2. Um acerto no tiro 30.

Passo 3

Calcular a probabilidade desses eventos:
  1. “9 acertos em 29 tiros” é um caso binomial: P(hbox9 acertos em 29) ;=; binom299,p^9,q^20
  2. “Acerto no tiro 30” tem probabilidade P(9 acertos em 29 e acerto no 30) = binom299,p^9,q^20 times p .
Como são independentes, multiplica:

Passo 4

Juntando tudo e substituindo P = binom299,l(tfrac17r)^9,l(tfrac67r)^20times tfrac17 = binom299,l(tfrac17r)^10,l(tfrac67r)^20 , :

Resposta

boxed,P = binom299,l(17r)^10,l(67r)^20,

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