Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
p(c)=0,40

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: você vai lançar uma moeda até que saiam duas caras © ou quatro coroas (K). A moeda não é justa: a chance de cara é e de coroa é . O que a gente quer é o número esperado de lançamentos até parar.
Conteúdo envolvido: cadeias de Markov simples ou equações de recorrência para tempo de absorção. Vamos usar a ideia de definir como o número esperado de lançamentos a partir do estado em que já temos caras e coroas, até atingir 2 caras ou 4 coroas.

Passo 2

Definindo a equação de recorrência. Se você está no estado E(i,j) ;=; 1 ;+; 0,4,E(i+1,j);+;0,6,E(i,j+1) , no próximo lançamento você vai gastar 1 jogada e, com probabilidade 0,40 vai para e com probabilidade 0,60 para . Então, para e :

Passo 3

Condições de contorno (absorção):
  • Se E(2,j)=0 (j<=4), E(i,4)=0 (i<=2) (duas caras) ou (quatro coroas), o processo para, então

Passo 4

Calcular começando pelos estados quase absorventes:
  1. Estado E(1,3)=1+0,4cdot E(2,3)+0,6cdot E(1,4) =1+0+0=1 :
E(0,3)=1+0,4cdot E(1,3)+0,6cdot E(0,4) =1+0,4cdot1+0=1,4
  1. Estado :

Passo 5

Seguindo para E(1,2)=1+0,4cdot E(2,2)+0,6cdot E(1,3) =1+0+0,6cdot1=1,6 e E(0,2)=1+0,4cdot E(1,2)+0,6cdot E(0,3) =1+0,4cdot1,6+0,6cdot1,4 =1+0,64+0,84=2,48 :

Passo 6

Agora E(1,1)=1+0,4cdot E(2,1)+0,6cdot E(1,2) =1+0+0,6cdot1,6=1,96 e E(0,1)=1+0,4cdot E(1,1)+0,6cdot E(0,2) =1+0,4cdot1,96+0,6cdot2,48 =1+0,784+1,488=3,272 :

Passo 7

O par E(1,0)=1+0,4cdot E(2,0)+0,6cdot E(1,1) =1+0+0,6cdot1,96=2,176 :

Passo 8

Finalmente E(0,0)=1+0,4cdot E(1,0)+0,6cdot E(0,1) =1+0,4cdot2,176+0,6cdot3,272 =1+0,8704+1,9632 =3,8336 , que é de onde começamos:

Resposta

O número esperado de lançamentos é aproximadamente .

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