Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: você vai lançar uma moeda até que saiam duas caras © ou quatro coroas (K). A moeda não é justa: a chance de cara é
e de coroa é
. O que a gente quer é o número esperado de lançamentos até parar.
Conteúdo envolvido: cadeias de Markov simples ou equações de recorrência para tempo de absorção. Vamos usar a ideia de definir como o número esperado de lançamentos a partir do estado em que já temos
caras e
coroas, até atingir 2 caras ou 4 coroas.
Conteúdo envolvido: cadeias de Markov simples ou equações de recorrência para tempo de absorção. Vamos usar a ideia de definir
Passo 2
Definindo a equação de recorrência. Se você está no estado
, no próximo lançamento você vai gastar 1 jogada e, com probabilidade 0,40 vai para
e com probabilidade 0,60 para
. Então, para
e
:
Passo 3
Condições de contorno (absorção):
- Se
(duas caras) ou (quatro coroas), o processo para, então
Passo 4
Calcular começando pelos estados quase absorventes:
- Estado
:
- Estado
:
Passo 5
Seguindo para
e
:
Passo 6
Agora
e
:
Passo 7
O par
:
Passo 8
Finalmente
, que é de onde começamos:
Resposta
O número esperado de lançamentos é aproximadamente
.