O Sargento Gercia acostuma acertar um em cada quatro disparos. Se der oito tiros no Zorro, qual a chance de acertar:
nenhum tiro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que o Sargento Gercia acerta 1 em cada 4 disparos, ou seja, a probabilidade de acerto em cada tiro é . Ele dá 8 tiros no Zorro e a gente quer saber qual a chance de ele não acertar nenhum (zero) desses 8. Esse é um caso clássico de distribuição binomial, onde contamos o número de “sucessos” (aqui, acertos) em tentativas independentes, cada uma com probabilidade .
O que vamos precisar:
  • Entender a fórmula da distribuição binomial.
  • Saber calcular combinações .
  • Substituir , e na fórmula.

Passo 2

Teoria da distribuição binomial:
Se P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k é o número de acertos em tentativas independentes, com probabilidade de acerto em cada tentativa, então
Aqui:
  • (oito tiros),
  • (nenhum acerto),
  • (prob. de acerto),
  • (prob. de erro).

Passo 3

Calcular a combinação binom80 = 1 .
Por definição, para qualquer . Então

Passo 4

Substituir tudo na fórmula:
P(X = 0) ;=; 1 times l(tfrac14r)^0 times l(tfrac34r)^8 ;=; 1 times 1 times l(tfrac34r)^8 ;=; l(tfrac34r)^8

Passo 5

Agora calcula l(tfrac34r)^8 = 3^84^8 = 656165536 approx 0,1001 .

Resposta

A chance de não acertar nenhum dos 8 tiros é
P = l(tfrac34r)^8 = 656165536 approx 0,1001(ou 10,01%)

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