Um arquiteto está projetando um piso com ladrilhos em formato de octógonos regulares. Para garantir um encaixe perfeito entre os ladrilhos, ele precisa determinar a medida de cada ângulo interno desses octógonos. Qual é a medida de cada ângulo interno de um octógono regular?
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a medida de cada ângulo interno de um octógono regular.
Informações dadas: é um octógono regular (ou seja, um polígono com lados e todos os ângulos iguais). As alternativas oferecidas são:
A) .
B) .
C) .
D) .
Informações dadas: é um octógono regular (ou seja, um polígono com
A)
B)
C)
D)
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
lados.
- Se pegarmos um vértice qualquer de um polígono convexo e traçarmos diagonais desse vértice para todos os outros vértices, o polígono é dividido em triângulos.
- Quantos triângulos conseguimos formar? Precisamos traçar diagonais para os
outros vértices (não contamos o próprio vértice nem os dois vértices adjacentes), e isso gera exatamente triângulos. - Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a
.
Portanto, a somados ângulos internos do polígono vale
onde
é o número de lados do polígono. Aqui eu expliquei o porquê desta fórmula: é pela divisão em
triângulos, cada um com
.
Passo 3
No caso de um polígono regular todos os ângulos internos são iguais. Se a soma total é
e há
ângulos iguais, então cada ângulo interno
vale
Neste passo eu defini a variável:
= número de lados;
= medida de cada ângulo interno (que queremos). A fórmula está justificada pelo raciocínio anterior.
Passo 4
Aplicando a fórmula para o octógono, ou seja, para
:
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
Agora faça a divisão de forma simples sem calculadora: divida por
e depois por
:
Passo 5
Checagem alternativa (método dos ângulos externos), para ver que bate com o resultado:
- A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é
. - Num polígono regular com
lados, cada ângulo externo mede . - O ângulo interno é suplementar ao externo, ou seja,
(ângulo externo). Para :
Os dois métodos coincidem, o que confirma o cálculo.
Passo 6
Encerrando: o cálculo mostra que cada ângulo interno do octógono regular mede
, que corresponde à alternativa correta.
Resposta
C)
.