Um arquiteto está projetando um piso com ladrilhos em formato de octógonos regulares. Para garantir um encaixe perfeito entre os ladrilhos, ele precisa determinar a medida de cada ângulo interno desses octógonos. Qual é a medida de cada ângulo interno de um octógono regular?
A) 108^{\circ}.
B) 120^{\circ}.
C) 135^{\circ}.
D) 144^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a medida de cada ângulo interno de um octógono regular.
Informações dadas: é um octógono regular (ou seja, um polígono com 8 lados e todos os ângulos iguais). As alternativas oferecidas são:
A) 108^\circ.
B) 120^\circ.
C) 135^\circ.
D) 144^\circ.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados.
  • Se pegarmos um vértice qualquer de um polígono convexo e traçarmos diagonais desse vértice para todos os outros vértices, o polígono é dividido em triângulos.
  • Quantos triângulos conseguimos formar? Precisamos traçar diagonais para os n-3 outros vértices (não contamos o próprio vértice nem os dois vértices adjacentes), e isso gera exatamente n-2 triângulos.
  • Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a 180^\circ.
    Portanto, a soma S dos ângulos internos do polígono vale
S = (n-2)\cdot 180^\circ,
onde n é o número de lados do polígono. Aqui eu expliquei o porquê desta fórmula: é pela divisão em n-2 triângulos, cada um com 180^\circ.

Passo 3

No caso de um polígono regular todos os ângulos internos são iguais. Se a soma total é (n-2)\cdot 180^\circ e há n ângulos iguais, então cada ângulo interno \alpha vale
\alpha = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.
Neste passo eu defini a variável: n = número de lados; \alpha = medida de cada ângulo interno (que queremos). A fórmula está justificada pelo raciocínio anterior.

Passo 4

Aplicando a fórmula para o octógono, ou seja, para n=8:
Calcule passo a passo:
n-2 = 8-2 = 6,
6\cdot 180^\circ = 1080^\circ,
\alpha = \frac{1080^\circ}{8}.
Agora faça a divisão de forma simples sem calculadora: divida por 2 e depois por 4:
\frac{1080^\circ}{8} = \frac{540^\circ}{4} = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ.

Passo 5

Checagem alternativa (método dos ângulos externos), para ver que bate com o resultado:
  • A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360^\circ.
  • Num polígono regular com n lados, cada ângulo externo mede \dfrac{360^\circ}{n}.
  • O ângulo interno é suplementar ao externo, ou seja, \alpha = 180^\circ - (ângulo externo). Para n=8:
\text{ângulo externo} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ,â
\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
Os dois métodos coincidem, o que confirma o cálculo.

Passo 6

Encerrando: o cálculo mostra que cada ângulo interno do octógono regular mede 135^\circ, que corresponde à alternativa correta.

Resposta

C) 135^\circ.

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