Um polígono convexo tem um total de 35 diagonais. Qual é o número de lados desse polígono?
A) 7 .
B) 8 .
C) 9 .
D) 10 .

Passo 1

O enunciado dá que um polígono convexo tem um total de 35 diagonais e pergunta qual é o número de lados desse polígono. Informações relevantes:
  • Número de diagonais do polígono: 35.
  • Pergunta: determinar o número de lados (ou vértices) do polígono, que chamarei de n.
  • Opções oferecidas: A) 7, B) 8, C) 9, D) 10.

Passo 2

Entendendo o que é uma diagonal e como contá-las: uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não adjacentes. Se o polígono tem n vértices, pegue um vértice qualquer. Esse vértice pode ligar-se a todos os outros n-1 vértices, mas dessas ligações duas são lados (os dois vértices adjacentes) e uma é ele mesmo (não se liga a si mesmo). Portanto, a partir de um vértice há exatamente n-3 diagonais que saem dele.
Importante: ao somar n-3 para cada um dos n vértices contamos cada diagonal duas vezes (uma vez em cada extremidade). Por isso devemos dividir por 2. Assim obtemos a fórmula geral:
\text{número de diagonais}=\frac{n(n-3)}{2}.ú
Aqui \,n é o número de lados (ou vértices) do polígono.

Passo 3

Pequena checagem intuitiva com casos conhecidos para ganhar confiança:
  • Para triângulo (n=3): \frac{3(3-3)}{2}=\frac{3\cdot0}{2}=0 diagonais (correto).
  • Para quadrilátero (n=4): \frac{4(4-3)}{2}=\frac{4\cdot1}{2}=2 diagonais (correto).
  • Para pentágono (n=5): \frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5 diagonais (correto).
    Esses exemplos mostram que a fórmula funciona e nos dá intuição.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao dado do enunciado. Igualamos a fórmula ao número de diagonais 35:
\frac{n(n-3)}{2}=35.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-3)=70.
Expandindo:
n^2-3n-70=0.
Temos uma equação quadrática na forma padrão an^2+bn+c=0 com a=1, b=-3, c=-70. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-70)=9+280=289.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{289}=17. As soluções são
n=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm17}{2}.
Isso dá duas raízes: n=\frac{3+17}{2}=\frac{20}{2}=10 e n=\frac{3-17}{2}=\frac{-14}{2}=-7. Como n representa número de lados, deve ser inteiro positivo, então descartamos n=-7 e ficamos com n=10.

Passo 6

Verificação final (checar volta na fórmula):
\frac{10(10-3)}{2}=\frac{10\cdot7}{2}=5\cdot7=35,
conferindo com o enunciado.

Resposta

D) 10

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