Um polígono convexo tem um total de 35 diagonais. Qual é o número de lados desse polígono?
A) 7 .
B) 8 .
C) 9 .
D) 10 .
A) 7 .
B) 8 .
C) 9 .
D) 10 .
Passo 1
O enunciado dá que um polígono convexo tem um total de
diagonais e pergunta qual é o número de lados desse polígono. Informações relevantes:
- Número de diagonais do polígono:
. - Pergunta: determinar o número de lados (ou vértices) do polígono, que chamarei de
. - Opções oferecidas: A)
, B) , C) , D) .
Passo 2
Entendendo o que é uma diagonal e como contá-las: uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não adjacentes. Se o polígono tem
vértices, pegue um vértice qualquer. Esse vértice pode ligar-se a todos os outros
vértices, mas dessas ligações duas são lados (os dois vértices adjacentes) e uma é ele mesmo (não se liga a si mesmo). Portanto, a partir de um vértice há exatamente
diagonais que saem dele.
Importante: ao somar para cada um dos
vértices contamos cada diagonal duas vezes (uma vez em cada extremidade). Por isso devemos dividir por
. Assim obtemos a fórmula geral:
Importante: ao somar
Aqui
é o número de lados (ou vértices) do polígono.
Passo 3
Pequena checagem intuitiva com casos conhecidos para ganhar confiança:
- Para triângulo
: diagonais (correto). - Para quadrilátero
: diagonais (correto). - Para pentágono
: diagonais (correto).
Esses exemplos mostram que a fórmula funciona e nos dá intuição.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao dado do enunciado. Igualamos a fórmula ao número de diagonais
:
Passo 5
Resolver a equação passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Temos uma equação quadrática na forma padrão
com
,
,
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada de
é
. As soluções são
Isso dá duas raízes:
e
. Como
representa número de lados, deve ser inteiro positivo, então descartamos
e ficamos com
.
Passo 6
Verificação final (checar volta na fórmula):
conferindo com o enunciado.
Resposta
D)