Calcule o comprimento da curva.
x=3 \cos t-\cos 3 t, y=3 \operatorname{sen} t-\operatorname{sen} 3 t, 0 less t less \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida parametricamente por
x=3\cos t-\cos 3t,\qquad y=3\sin t-\sin 3t,
no intervalo 0<t<\pi.
Informações dadas: as expressões de x(t) e y(t) e o intervalo de t.
O que se pede: o comprimento total da curva quando t varia de 0 a \pi.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do comprimento de curva para curvas paramétricas. Se uma curva é dada por (x(t),y(t)) para t em [a,b], o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Explicando essa fórmula: para um pequeno incremento \Delta t temos \Delta x\approx x'(t)\Delta t e \Delta y\approx y'(t)\Delta t. O comprimento do pequeno segmento é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\approx\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,\Delta t. Somando (integrando) esses pequenos comprimentos obtemos a integral acima. Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}.

Passo 3

Calculemos as derivadas x'(t) e y'(t). Diferenciando termo a termo:
x(t)=3\cos t-\cos 3t \implies x'(t)=-3\sin t + 3\sin 3t = 3(\sin 3t-\sin t).
y(t)=3\sin t-\sin 3t \implies y'(t)=3\cos t - 3\cos 3t = 3(\cos t-\cos 3t).
Mostrei cada passo: a derivada de \cos t é -\sin t e a de \cos 3t é -3\sin 3t; similarmente para \sin.

Passo 4

Agora formamos (x')^{2}+(y')^{2}:
(x')^{2}+(y')^{2}=9\big[(\sin 3t-\sin t)^{2}+(\cos t-\cos 3t)^{2}\big].
Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes. Expandindo e agrupando:
(\sin 3t-\sin t)^{2}+(\cos t-\cos 3t)^{2} =(\sin^{2}3t+\cos^{2}3t)+(\sin^{2}t+\cos^{2}t)-2(\sin 3t\sin t+\cos 3t\cos t).
Usamos \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 para ambos os ângulos, então os dois primeiros termos somam 1+1=2. Além disso, note que
\sin 3t\sin t+\cos 3t\cos t=\cos(3t-t)=\cos 2t,
pois \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. Portanto
(\sin 3t-\sin t)^{2}+(\cos t-\cos 3t)^{2}=2-2\cos 2t.
Usando a identidade 1-\cos 2t=2\sin^{2}t obtemos
2-2\cos 2t=4\sin^{2}t.
Substituindo de volta,
(x')^{2}+(y')^{2}=9\cdot 4\sin^{2}t=36\sin^{2}t.

Passo 5

O integrando da fórmula do comprimento é a raiz quadrada disso:
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{36\sin^{2}t}=6|\sin t|.
No intervalo dado 0<t<\pi temos \sin t>0, então |\sin t|=\sin t. Assim o integrando simplifica para 6\sin t.

Passo 6

Agora calculamos a integral do comprimento:
L=\int_{0}^{\pi}6\sin t\,dt.
A primitiva de \sin t é -\cos t, então
L=6\big[-\cos t\big]_{0}^{\pi}=6\big(-\cos\pi +\cos 0\big).
Sabendo que \cos\pi=-1 e \cos 0=1, obtemos
L=6\big(-(-1)+1\big)=6(2)=12.

Passo 7

Concluímos que o comprimento da curva no intervalo 0<t<\pi é 12. Boa! Você viu como a expressão se simplificou muito por causa das identidades trigonométricas — por isso sempre vale a pena tentar simplificar antes de integrar.

Resposta

12

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