Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida parametricamente por
no intervalo
.
Informações dadas: as expressões de e
e o intervalo de
.
O que se pede: o comprimento total da curva quando varia de
a
.
Informações dadas: as expressões de
O que se pede: o comprimento total da curva quando
Passo 2
Vamos usar a fórmula do comprimento de curva para curvas paramétricas. Se uma curva é dada por
para
em
, o comprimento
é
Explicando essa fórmula: para um pequeno incremento
temos
e
. O comprimento do pequeno segmento é
. Somando (integrando) esses pequenos comprimentos obtemos a integral acima. Aqui
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas
e
. Diferenciando termo a termo:
Mostrei cada passo: a derivada de
é
e a de
é
; similarmente para
.
Passo 4
Agora formamos
:
Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes. Expandindo e agrupando:
Usamos
para ambos os ângulos, então os dois primeiros termos somam
. Além disso, note que
pois
. Portanto
Usando a identidade
obtemos
Substituindo de volta,
Passo 5
O integrando da fórmula do comprimento é a raiz quadrada disso:
No intervalo dado
temos
, então
. Assim o integrando simplifica para
.
Passo 6
Agora calculamos a integral do comprimento:
A primitiva de
é
, então
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 7
Concluímos que o comprimento da curva no intervalo
é
. Boa! Você viu como a expressão se simplificou muito por causa das identidades trigonométricas — por isso sempre vale a pena tentar simplificar antes de integrar.