Três partículas com cargas q, q e -2 q estão localizadas sobre o eixo \mathcal{X} com abscissas -a, 0 e a, respectivamente. Suponha que o potencial eletrostático gerado pelas três partículas é igual a zero no infinito. Considere, agora, um ponto \mathcal{P} do eixo cartesiano \mathcal{Y} com ordenada y>0. No limite assintótico y \gg a, qual é a expressão para o potencial eletrostático V(\mathcal{P}) devido a essa distribuição de cargas?
(a) \frac{q a^{2}}{2 \pi \varepsilon_{0} y^{3}}.
(b) \frac{q a^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{3}}.
(c) -\frac{3 q a}{4 \pi \varepsilon_{0} y^{2}}.
(d) -\frac{q a^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} y^{3}}.
(e) \frac{q a^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} y^{3}}.
(f) 0 .

Passo 1

Vou listar com cuidado o que o enunciado dá e o que pede, pegando todas as informações importantes:
  • Há três partículas pontuais colocadas sobre o eixo \mathcal{X} com cargas e posições:
    • carga q em x=-a,
    • carga q em x=0,
    • carga -2q em x=+a.
  • O potencial eletrostático é escolhido tal que V\to0 quando |\mathbf{r}|\to\infty.
  • Considera-se um ponto \mathcal{P} sobre o eixo \mathcal{Y} com coordenadas (0,y), com y>0.
  • A situação de interesse é o limite assintótico \;y\gg a\; (ou seja, o ponto está muito longe em relação à separação das cargas).
  • O que o problema pede: obter a expressão para o potencial V(\mathcal{P}) no limite y\gg a, e escolher a alternativa correta dentre as dadas.

Passo 2

Recordando uma fórmula básica (aqui explico com calma): o potencial eletrostático criado por uma carga puntiforme Q localizada a uma distância r de um ponto é
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.
Essa fórmula significa que cada carga contribui para o potencial com um termo proporcional à carga e inversamente proporcional à distância até o ponto onde se avalia o potencial. Para várias cargas puntuais, o potencial total é a soma (superposição) das contribuições de cada carga:
V(\mathcal{P})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i}\frac{q_i}{r_i},
onde q_i são as cargas e r_i as respectivas distâncias de cada carga até o ponto \mathcal{P}.

Passo 3

Agora aplico isso ao nosso caso. Distâncias das cargas até \mathcal{P}=(0,y):
  • distância da carga em x=0 é r_0 = y.
  • distância das cargas em x=\pm a é igual para as duas e vale r_a=\sqrt{a^{2}+y^{2}} (pois coordenadas (\pm a,0) até (0,y) têm comprimento \sqrt{(\pm a-0)^2+(0-y)^2}).
Somando as contribuições:
V(\mathcal{P}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{q}{r_a}+\frac{q}{r_0}+\frac{-2q}{r_a}\Big).
Agrupando termos com r_a:
V(\mathcal{P}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{q}{y} + \frac{q-2q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}\Big) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\frac{q}{y} - \frac{q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}\Big).

Passo 4

Antes de expandir, uma observação física útil (explico por que isso dá intuição): a carga total do sistema é
q_{\text{total}} = q + q - 2q = 0.
Isso significa que o termo monopolar (o termo \propto 1/y que aparece se houvesse carga total não nula) tende a zero quando se considera a soma completa; na expressão exata que encontramos ainda aparece uma diferença entre dois termos semelhantes, e essa diferença é pequena quando y é grande. Portanto, é natural esperar que o potencial caia mais rápido do que 1/y; vamos obter a forma exata do decaimento utilizando expansão assintótica.

Passo 5

Fazemos a expansão para y\gg a. Primeiro escrevo de modo conveniente:
\frac{1}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{y}\,\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{a^{2}}{y^{2}}}}.
Agora uso a expansão binomial para (1+u)^{-1/2} válida quando |u|\ll1:
(1+u)^{-1/2}=1-\frac{u}{2}+\frac{3u^{2}}{8}+\cdots .
Aqui tomo u=\dfrac{a^{2}}{y^{2}}, que é pequeno no regime y\gg a. Portanto
\frac{1}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}} =\frac{1}{y}\left(1-\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{y^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^{4}}{y^{4}}\right)\right).

Passo 6

Substituo essa expansão na expressão do potencial:
\frac{q}{y}-\frac{q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}} = \frac{q}{y} - \frac{q}{y}\left(1-\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{y^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^{4}}{y^{4}}\right)\right).
Cancelam-se os termos \dfrac{q}{y} principais, ficando o termo dominante da diferença:
\frac{q}{y}-\frac{q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}} = \frac{q}{y}\left(\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{y^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{a^{4}}{y^{4}}\right)\right) = \frac{q a^{2}}{2 y^{3}} + \mathcal{O}\!\left(\frac{q a^{4}}{y^{5}}\right).

Passo 7

Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} que estava fora, obtemos a expressão assintótica do potencial no ponto \mathcal{P}:
V(\mathcal{P}) \simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q a^{2}}{2 y^{3}} = \frac{q a^{2}}{8\pi\varepsilon_0\, y^{3}},
válida para y\gg a. Observação: o sinal é positivo — o potencial decai como 1/y^{3} e a constante é q a^{2}/(8\pi\varepsilon_0).

Passo 8

Uma explicação conceitual rápida e que ajuda na prova: como a carga total é zero, o termo monopolo (proporcional a 1/r) some; o próximo termo na expansão multipolar é o dipolo ( \propto 1/r^{2}), que depende do momento dipolar \mathbf{p}=\sum q_i \mathbf{r}_i. No nosso caso \mathbf{p} não é nulo (tem componente ao longo de x), mas como o ponto \mathcal{P} está sobre o eixo y (ou seja, o vetor posição do ponto é perpendicular ao eixo x) o produto escalar \mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}} aparece no potencial dipolar e é zero nesse eixo — então o termo dipolar também não contribui para V em (0,y). Por isso o primeiro termo não nulo do potencial sobre o eixo y é o termo quadrupolar, que escala como 1/y^{3}. A expansão feita antes recupera exatamente esse comportamento e fornece o coeficiente numérico \dfrac{q a^{2}}{8\pi\varepsilon_0}.

Resposta

(e) \displaystyle \frac{q a^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} y^{3}}

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