Três partículas com cargas
,
e
estão localizadas sobre o eixo
com abscissas
, 0 e
, respectivamente. Suponha que o potencial eletrostático gerado pelas três partículas é igual a zero no infinito. Considere, agora, um ponto
do eixo cartesiano
com ordenada
. No limite assintótico
, qual é a expressão para o potencial eletrostático
devido a essa distribuição de cargas?
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f) 0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) 0 .
Passo 1
Vou listar com cuidado o que o enunciado dá e o que pede, pegando todas as informações importantes:
- Há três partículas pontuais colocadas sobre o eixo
com cargas e posições: - carga
em , - carga
em , - carga
em .
- carga
- O potencial eletrostático é escolhido tal que
quando . - Considera-se um ponto
sobre o eixo com coordenadas , com . - A situação de interesse é o limite assintótico
(ou seja, o ponto está muito longe em relação à separação das cargas). - O que o problema pede: obter a expressão para o potencial
no limite , e escolher a alternativa correta dentre as dadas.
Passo 2
Recordando uma fórmula básica (aqui explico com calma): o potencial eletrostático criado por uma carga puntiforme
localizada a uma distância
de um ponto é
Essa fórmula significa que cada carga contribui para o potencial com um termo proporcional à carga e inversamente proporcional à distância até o ponto onde se avalia o potencial. Para várias cargas puntuais, o potencial total é a soma (superposição) das contribuições de cada carga:
onde
são as cargas e
as respectivas distâncias de cada carga até o ponto
.
Passo 3
Agora aplico isso ao nosso caso. Distâncias das cargas até
:
- distância da carga em
é . - distância das cargas em
é igual para as duas e vale (pois coordenadas até têm comprimento ).
Somando as contribuições:
Agrupando termos com
:
Passo 4
Antes de expandir, uma observação física útil (explico por que isso dá intuição): a carga total do sistema é
Isso significa que o termo monopolar (o termo
que aparece se houvesse carga total não nula) tende a zero quando se considera a soma completa; na expressão exata que encontramos ainda aparece uma diferença entre dois termos semelhantes, e essa diferença é pequena quando
é grande. Portanto, é natural esperar que o potencial caia mais rápido do que
; vamos obter a forma exata do decaimento utilizando expansão assintótica.
Passo 5
Fazemos a expansão para
. Primeiro escrevo de modo conveniente:
Agora uso a expansão binomial para
válida quando
:
Aqui tomo
, que é pequeno no regime
. Portanto
Passo 6
Substituo essa expansão na expressão do potencial:
Cancelam-se os termos
principais, ficando o termo dominante da diferença:
Passo 7
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos a expressão assintótica do potencial no ponto
:
válida para
. Observação: o sinal é positivo — o potencial decai como
e a constante é
.
Passo 8
Uma explicação conceitual rápida e que ajuda na prova: como a carga total é zero, o termo monopolo (proporcional a
) some; o próximo termo na expansão multipolar é o dipolo (
), que depende do momento dipolar
. No nosso caso
não é nulo (tem componente ao longo de
), mas como o ponto
está sobre o eixo
(ou seja, o vetor posição do ponto é perpendicular ao eixo
) o produto escalar
aparece no potencial dipolar e é zero nesse eixo — então o termo dipolar também não contribui para
em
. Por isso o primeiro termo não nulo do potencial sobre o eixo
é o termo quadrupolar, que escala como
. A expansão feita antes recupera exatamente esse comportamento e fornece o coeficiente numérico
.
Resposta
(e)