Um arranjo cilindro-pistão contém 0,05 m^3 de uma gás, inicialmente a 200 kPa . Neste estado, uma mola linear com constante de mola igual a 150 kN / m está tocando o pistão, mas sem exercer qualquer força sobre ele. Em seguida, calor é transferido para o gás, fazendo com que o pistão se desloque para cima e comprima a mola até dobrar o volume do cilindro. Se a seção transversal do pistão for 0,25 m^2, determine: a) a pressão final dentro do cilindro, b) o trabalho total realizado pelo gás e c) a parcela desse trabalho realizado contra a mola para comprimi-la.

Passo 1

A questão envolve um cilindro com gás, pistão sem atrito e mola linear. Inicialmente o gás ocupa V1=0,05,m^3 à pressão P1=200,kPa, e a mola de constante k=150times10^3,N/m toca o pistão mas sem exercer força. Ao aquecer o gás, o volume dobra e a mola é comprimida. Precisamos usar equilíbrio de forças no pistão (pressão do gás versus pressão externa e mola) e calcular trabalhos em processos de força variável.

Passo 2

O deslocamento do pistão x está ligado à variação de volume pelo área A=0,25,m^2:
x=V2-V1A=0,10-0,050,25=0,20,m

Passo 3

Como na condição inicial a mola não exerce força, a pressão externa que equilibra o gás é Pext=P1=200,kPa. No final, a mola está comprimida x=0,20,m e exerce força F=kx, gerando pressão adicional sobre o gás:
Pmola=FA=kxA=150times10^3times0,200,25=120,kPa
Logo, a pressão final é
P2=Pext+Pmola=200+120=320,kPa

Passo 4

O trabalho total realizado pelo gás é
Wgas=integralV1^V2P,dV
Como a pressão varia segundo
P(V)=Pext+kA^2(V-V1)
temos
Wgas=Pext(V2-V1)+kA^2(V2-V1)^22
Substituindo V2-V1=0,05,m^3, Pext=200times10^3,Pa, k=150times10^3,N/m, A=0,25,m^2:
Wgas=200times10^3times0,05+150times10^3(0,25)^2(0,05)^22=10,0times10^3+3,0times10^3=13,0times10^3,J

Passo 5

O trabalho realizado contra a mola é a energia armazenada nela:
Wmola=12kx^2=12times150times10^3times(0,20)^2=3,0times10^3,J

Resposta

a) 320 kPa
b) 13 kJ
c) 3 kJ

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