Utilize integrais triplas para encontrar o volume das regiões dadas.
Uma esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio a usando integrais triplas. Este exercício cai na matéria de cálculo em várias variáveis, e vamos precisar montar uma integral tripla apropriada para a região esférica e usar coordenadas esféricas.

Passo 2

Como a esfera tem simetria esférica, o mais simples é trocar de coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas esféricas (rho,theta,varphi), em que
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi,
e o elemento de volume fica dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.
Agora determinamos os limites de integração. Dentro da esfera de raio a temos
0 <= rho <= a, 0 <= varphi <= pi, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Montamos então a integral tripla do volume:
V = integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^piintegralrho=0^a rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^a rho^2,drho = l[rho^33r]0^a = a^33

Passo 5

Em seguida fazemos as integrais angulares juntas:
integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2, integral0^2pi dtheta = 2pi,
logo o fator angular total é 2times 2pi = 4pi.
Por fim, multiplicamos o resultado da integral em rho pelo fator angular:
V = a^33times 4pi = 4pi a^33

Resposta

O volume da esfera de raio a é 43pi a^3.

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