Utilize integrais triplas para encontrar o volume das regiões dadas.
Uma esfera de raio
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Uma esfera de raio
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando integrais triplas. Este exercício cai na matéria de cálculo em várias variáveis, e vamos precisar montar uma integral tripla apropriada para a região esférica e usar coordenadas esféricas.
Passo 2
Como a esfera tem simetria esférica, o mais simples é trocar de coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
, em que
e o elemento de volume fica
Agora determinamos os limites de integração. Dentro da esfera de raio
Passo 3
Montamos então a integral tripla do volume:
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Em seguida fazemos as integrais angulares juntas:
logo o fator angular total é
Por fim, multiplicamos o resultado da integral em
Resposta
O volume da esfera de raio
é
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