Dada
Calcule a integral de linha da função
ao longo da curva definida pela parábola
partindo desde o vértice da parábola até o ponto
.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e a curva parábola
indo do vértice
até o ponto
. O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo: primeiro verificamos se
é conservativo e, em caso positivo, achamos uma função potencial.
Passo 2
Verificamos se
é conservativo computando as derivadas parciais:
e
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2e^{2y} - 3e^{x+y}\bigr) = -3e^{x+y}.
$$
Como em todo
, o campo é conservativo.
Como
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Derivando em relação a
Logo
e
Desprezando a constante, obtemos
Passo 4
Como o campo é conservativo, a integral de linha depende só dos extremos:
Calculamos
Portanto a integral vale a diferença entre esses valores.
Resposta
2e^{2} - 3e^{3} + e^{4}