Dada
F(x, y)=(4 e^2 x-3 e^x e^y) i+(2 e^2 y-3 e^x e^y)
Calcule a integral de linha da função F(x, y) ao longo da curva definida pela parábola
y^2=4 x
partindo desde o vértice da parábola até o ponto (1,2).

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y) = l(4e^2x - 3e^x+y,;2e^2y - 3e^x+yr) e a curva parábola y^2 = 4x indo do vértice (0,0) até o ponto (1,2). O conteúdo aqui é integral de linha de campo conservativo: primeiro verificamos se F é conservativo e, em caso positivo, achamos uma função potencial.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo computando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial yl(4e^2x - 3e^x+yr) = -3e^x+y,
e
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2e^{2y} - 3e^{x+y}\bigr) = -3e^{x+y}.
$$
Como partial Qpartial x = partialpartial xl(2e^2y - 3e^x+yr) = -3e^x+y em todo partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral l(4e^2x - 3e^x+yr),dx = 2e^2x - 3e^x+y + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a Q:
partial fpartial y = -3e^x+y + h'(y) stackrel!= 2e^2y - 3e^x+y
Logo h'(y) = 2e^2y e
h(y) = e^2y + C
Desprezando a constante, obtemos
f(x,y) = 2e^2x - 3e^x+y + e^2y

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha depende só dos extremos:
integralC Fcdot dr = fl(1,2r) - fl(0,0r)
Calculamos
f(1,2) = 2e^2 - 3e^3 + e^4,
f(0,0) = 2e^0 - 3e^0 + e^0 = 0
Portanto a integral vale a diferença entre esses valores.

Resposta

2e^{2} - 3e^{3} + e^{4}

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