No mesmo arranjo do exemplo anterior, ou seja, uma engrenagem acoplada a um eixo de 46 mm de diâmetro ( d ) por meio de chaveta de aço 1045, com dimensões: 9 mm de altura ( h ); 14 mm de largura ( b ), a força de compressão ( F_{\text {esm }} ) na face da chaveta, provocada pelo momento torsor ( M_{t} ), é de 26804 N. Sabendo-se que a tensão de compressão admissível no material da chaveta ( \sigma_{\text {adm }} ) é de 100 MPa , determine qual o comprimento mínimo da chaveta para resistir ao esforço de compressão (esmagamento).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o comprimento mínimo da chaveta para resistir ao esmagamento (compressão):
  • Diâmetro do eixo: d=46\\ \text{mm}.
  • Altura da chaveta: h=9\\ \text{mm}.
  • Largura da chaveta: b=14\\ \text{mm}.
  • Força de compressão na face da chaveta causada pelo momento torsor: F_{\text{esm}}=26804\\ \text{N}.
  • Tensão de compressão admissível do material da chaveta: \sigma_{\text{adm}}=100\\ \text{MPa}.
Pergunta a responder: determinar o comprimento mínimo da chaveta, l_{\min}, que faça com que a tensão de esmagamento não exceda \sigma_{\text{adm}}.

Passo 2

Conceito básico usado: tensão de compressão (esmagamento) é a força dividida pela área que recebe essa força. Em forma matemática:
\sigma = \frac{F}{A},
onde
  • \sigma é a tensão de compressão (unidade: \text{N}/\text{mm}^2 ou \text{MPa}),
  • F é a força de compressão (unidade: \text{N}),
  • A é a área de contato que suporta a carga (unidade: \text{mm}^2).
Aqui, a face que sofre esmagamento é a face lateral da chaveta sobre a qual atua a força tangencial do eixo/engrenagem. Essa área de contato é a altura da chaveta multiplicada pelo comprimento da chaveta (a largura b é usada em cálculo de cisalhamento, não de esmagamento). Portanto:
A = l \cdot h,
onde l é o comprimento axial da chaveta (o que queremos achar) e h é a altura da chaveta.
Observação sobre unidades: 1\\ \text{MPa} = 1\\ \text{N}/\text{mm}^2. Assim podemos usar diretamente \sigma_{\text{adm}}=100\\ \text{N}/\text{mm}^2 quando trabalhamos com mm e N.

Passo 3

Para garantir que a tensão de esmagamento não ultrapasse a admissível deve-se ter
\sigma = \frac{F_{\text{esm}}}{l\cdot h} \le \sigma_{\text{adm}}.
Para obter o comprimento mínimo l_{\min} usamos a igualdade (caso limite):
\sigma_{\text{adm}} = \frac{F_{\text{esm}}}{l_{\min}\cdot h}.
Isolando l_{\min}:
l_{\min} = \frac{F_{\text{esm}}}{\sigma_{\text{adm}}\cdot h}.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos (lembrando que \sigma_{\text{adm}}=100\\ \text{MPa}=100\\ \text{N}/\text{mm}^2, h=9\\ \text{mm} e F_{\text{esm}}=26804\\ \text{N}):
l_{\min} = \frac{26804}{100\cdot 9}.
Calculando passo a passo:
100\cdot 9 = 900,
l_{\min} = \frac{26804}{900}\\ \text{mm} \approx 29{,}7822\\ \text{mm}.

Passo 5

Interpretação do resultado e segurança prática: o comprimento mínimo teórico é 29{,}78\\ \text{mm}. Em projeto prático é preciso arredondar para um valor comercial ou para cima por segurança. Portanto recomenda-se adotar l=30\\ \text{mm} como comprimento da chaveta para garantir que a tensão de esmagamento fique dentro do admissível e haja um pequeno coeficiente de segurança em relação ao cálculo exato.

Resposta

l_{\min}=29{,}78\\ \text{mm} (adotar, por segurança, l=30\\ \text{mm}).

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