O “arrasto do éter” foi uma das possibilidades aventadas para explicar o resultado negativo do experimento de Michelson- Morley. O fenômeno da aberração estelar refuta esta hipótese. Suponha que a Terra se mova em relação ao éter com velocidade v e que um raio luminoso (proveniente, por exemplo, de uma estrela) se aproxime da Terra fazendo um ângulo \theta com v. (a) Mostre que o ângulo de aproximação no referencial da Terra, \theta^{\prime \prime}, é dado por:
\tan \theta^{\prime}=\frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta+v / c}
(b) \theta^{\prime \prime} é o ângulo da aberração estelar. Se \theta=90^{\circ}, qual é a diferença entre \theta^{\prime} e 90^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: a Terra move-se em relação ao éter com velocidade \vec{v} (módulo v).
  • Informação: um raio de luz, medido no referencial do éter, aproxima-se da Terra fazendo um ângulo \theta com o vetor \vec{v}.
  • Pedido (a): mostrar que, no referencial da Terra, o ângulo de aproximação \theta' satisfaz
\tan\theta'=\frac{\sin\theta}{\cos\theta+v/c}.
  • Pedido (b): para \theta=90^\circ, determinar a diferença entre \theta' e 90^\circ (ou seja, determinar 90^\circ-\theta' ou uma expressão equivalente).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas claro. Vou colocar o eixo x apontando na direção de \vec{v} (sentido do movimento da Terra) e o eixo y perpendicular a ele, no plano do raio de luz. Explico por que isso é conveniente: assim podemos decompor as velocidades em componentes x e y e usar adição vetorial simples.
Definir as velocidades no referencial do éter:
  • A velocidade da Terra é \vec{v}=v\,\hat{x}.
  • A velocidade do raio de luz (vetor velocidade) no referencial do éter tem módulo c e forma um ângulo \theta com \vec{v}. Como o raio está se aproximando da Terra, tomo a componente de x apontando no sentido positivo e o vetor velocidade do fóton apontando em direção à Terra será de sinal oposto em x. Portanto, escrevo as componentes do vetor velocidade do raio no éter como
u_x = -c\cos\theta,\qquad u_y = -c\sin\theta.
Observação intuitiva: se \theta=0 (estrela exatamente à frente), então u_x=-c (vem diretamente na direção oposta a \vec{v}); se \theta=90^\circ (estrela exatamente ao lado), então u_x=0,\\ u_y=-c.

Passo 3

Passar para o referencial da Terra aplicando a regra clássica de adição de velocidades (prótese da teoria do éter): a velocidade do raio em relação à Terra é o vetor velocidade do raio no éter menos a velocidade da Terra:
\vec{u}'=\vec{u}-\vec{v}.
Em componentes isso dá
u_x' = u_x - v = -c\cos\theta - v, \qquad u_y' = u_y = -c\sin\theta.
Aqui expliquei cada termo: u_x é a componente x do raio no éter; subtrai-se v porque se a Terra se move em + x, no referencial da Terra o fóton parece ter a componente x reduzida (vetorialmente é \vec{u}-\vec{v}).

Passo 4

Expressar o ângulo \theta' no referencial da Terra em termos das componentes de \vec{u}'. Por definição, o ângulo que o raio faz com o eixo x satisfaz
\tan\theta'=\frac{\text{componente }y}{\text{componente }x}=\frac{u_y'}{u_x'}.
Substituindo as componentes encontradas:
\tan\theta'=\frac{-c\sin\theta}{-c\cos\theta - v}.

Passo 5

Simplificar a expressão anterior. Os sinais “-” no numerador e no denominador cancelam; em seguida fatorar c no denominador para deixar na forma pedida:
\tan\theta'=\frac{c\sin\theta}{c\cos\theta+v}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta+v/c}.
Pronto: obtivemos exatamente a fórmula pedida no item (a).

Passo 6

Agora resolver (b): tomar \theta=90^\circ. Substituindo em \tan\theta'=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta+v/c} tem-se
\sin(90^\circ)=1,\qquad \cos(90^\circ)=0,
portanto
\tan\theta'=\frac{1}{0+v/c}=\frac{c}{v}.
Logo \theta'=\arctan\!\left(\dfrac{c}{v}\right).
Para achar a diferença entre 90^\circ e \theta' use a identidade de arctangentes: para x>0,
\arctan x + \arctan\frac{1}{x}=90^\circ.
Tomando x=c/v obtém-se
90^\circ-\theta'=\arctan\!\left(\frac{v}{c}\right).
Isto é uma expressão exata. Para velocidades terrestres típicas v\ll c pode-se usar a aproximação de pequeno ângulo \arctan z\approx z (em radianos), e obtemos a aproximação útil
90^\circ-\theta'\approx\frac{v}{c}\quad\text{(radianos, para }v\ll c\text{)}.

Passo 7

Pequeno comentário físico e numérico (para motivar): para a velocidade orbital da Terra v\approx 30\\ \text{km/s} tem-se v/c\approx 10^{-4}, então a diferença é cerca de 10^{-4} rad \approx 20{,}6 segundos de arco, que é justamente a ordem de grandeza observada para a aberração estelar histórica.

Resposta

\tan\theta'=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta+v/c}
90^\circ-\theta'=\arctan\!\left(\dfrac{v}{c}\right)\approx \dfrac{v}{c}\\ \text{(radianos, se }v\ll c\text{)}

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