O “arrasto do éter” foi uma das possibilidades aventadas para explicar o resultado negativo do experimento de Michelson- Morley. O fenômeno da aberração estelar refuta esta hipótese. Suponha que a Terra se mova em relação ao éter com velocidade v e que um raio luminoso (proveniente, por exemplo, de uma estrela) se aproxime da Terra fazendo um ângulo
com v. (a) Mostre que o ângulo de aproximação no referencial da Terra,
, é dado por:
(b)
é o ângulo da aberração estelar. Se
, qual é a diferença entre
e
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: a Terra move-se em relação ao éter com velocidade
(módulo ). - Informação: um raio de luz, medido no referencial do éter, aproxima-se da Terra fazendo um ângulo
com o vetor . - Pedido (a): mostrar que, no referencial da Terra, o ângulo de aproximação
satisfaz
- Pedido (b): para
, determinar a diferença entre e (ou seja, determinar ou uma expressão equivalente).
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas claro. Vou colocar o eixo
apontando na direção de
(sentido do movimento da Terra) e o eixo
perpendicular a ele, no plano do raio de luz. Explico por que isso é conveniente: assim podemos decompor as velocidades em componentes
e
e usar adição vetorial simples.
Definir as velocidades no referencial do éter:
- A velocidade da Terra é
. - A velocidade do raio de luz (vetor velocidade) no referencial do éter tem módulo
e forma um ângulo com . Como o raio está se aproximando da Terra, tomo a componente de apontando no sentido positivo e o vetor velocidade do fóton apontando em direção à Terra será de sinal oposto em . Portanto, escrevo as componentes do vetor velocidade do raio no éter como
Observação intuitiva: se
(estrela exatamente à frente), então
(vem diretamente na direção oposta a
); se
(estrela exatamente ao lado), então
.
Passo 3
Passar para o referencial da Terra aplicando a regra clássica de adição de velocidades (prótese da teoria do éter): a velocidade do raio em relação à Terra é o vetor velocidade do raio no éter menos a velocidade da Terra:
Em componentes isso dá
Aqui expliquei cada termo:
é a componente
do raio no éter; subtrai-se
porque se a Terra se move em +
, no referencial da Terra o fóton parece ter a componente
reduzida (vetorialmente é
).
Passo 4
Expressar o ângulo
no referencial da Terra em termos das componentes de
. Por definição, o ângulo que o raio faz com o eixo
satisfaz
Substituindo as componentes encontradas:
Passo 5
Simplificar a expressão anterior. Os sinais “-” no numerador e no denominador cancelam; em seguida fatorar
no denominador para deixar na forma pedida:
Pronto: obtivemos exatamente a fórmula pedida no item (a).
Passo 6
Agora resolver (b): tomar
. Substituindo em
tem-se
portanto
Logo
.
Para achar a diferença entre
e
use a identidade de arctangentes: para
,
Tomando
obtém-se
Isto é uma expressão exata. Para velocidades terrestres típicas
pode-se usar a aproximação de pequeno ângulo
(em radianos), e obtemos a aproximação útil
Passo 7
Pequeno comentário físico e numérico (para motivar): para a velocidade orbital da Terra
tem-se
, então a diferença é cerca de
rad
segundos de arco, que é justamente a ordem de grandeza observada para a aberração estelar histórica.