Um relógio é instalado a bordo de um satélite que gira em torno da Terra com um período de 108 minutos. (a) Qual é a diferença entre a hora indicada por este relógio e a hora indicada por um relógio terrestre após 1 ano? (b) Quanto tempo terá passado na Terra quando a diferença entre os dois relógios for de 1 segundo? (Use as equações da relatividade restrita e ignore os efeitos da relatividade geral.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dados do enunciado:
- Período do satélite:
. - Ignorar efeitos da relatividade geral; usar apenas as equações da relatividade restrita.
- Período do satélite:
- Quantidades constantes que vou usar (valores numéricos padrão):
- Velocidade da luz:
. - Parâmetro gravitacional da Terra:
. (Usado para obter a órbita circular a partir do período.) - Um ano: vou usar
.
- Velocidade da luz:
- O que o enunciado pede:
- (a) Qual é a diferença entre a hora indicada pelo relógio no satélite e a hora indicada por um relógio terrestre, após
ano? - (b) Quanto tempo terá passado na Terra quando a diferença entre os dois relógios for de
segundo?
- (a) Qual é a diferença entre a hora indicada pelo relógio no satélite e a hora indicada por um relógio terrestre, após
Passo 2
Planejamento do método (o que vou calcular e por quê), com as fórmulas que serão usadas — aqui ensino a parte necessária de forma didática.
- Ideia física básica: um relógio em movimento relativo a um observador fica mais lento segundo a relatividade restrita. Se
for o tempo medido pelo observador em repouso (aqui: a Terra) e o tempo próprio do relógio em movimento (aqui: o relógio do satélite), a relação é
onde
e
é a velocidade do relógio (satélite) em relação ao observador da Terra. Explicando as variáveis:
-
: intervalo de tempo medido no referencial da Terra (segundos). -
: intervalo de tempo registrado pelo relógio do satélite (segundos). -
: velocidade do satélite relativa à Terra (m/s). -
: velocidade da luz (m/s). -
A diferença entre os relógios (o quanto o relógio do satélite “atrasou” em relação ao da Terra) é
- Para velocidades muito menores que
(caso típico de satélites), usa-se a aproximação de primeira ordem da expansão em série:
Substituindo nessa expressão,
Isto é muito conveniente porque transforma a conta em multiplicações simples.
- Para obter
do satélite: o enunciado dá o período orbital . Vou assumir órbita circular e usar a relação da mecânica orbital newtoniana (válida aqui para obter / raio, já que estamos ignorando efeitos relativísticos na órbita):
onde
é o raio da órbita (distância centro da Terra–satélite). Deste
obtém-se a velocidade orbital circular
Observação: usar
e a fórmula clássica de órbita é aceitável aqui porque o enunciado pediu para ignorar relatividade geral; precisamos de
para aplicar a fórmula relativística do tempo.
Passo 3
Converter dados e calcular o período em segundos; calcular o raio orbital
a partir de
.
- Converter o período:
- A partir de
isolamos
:
- Substituindo os valores numéricos (vou apresentar os passos numéricos):
Calcular numericamente (aproximação com poucas casas significativas suficientes):
Agora o quadrado:
Multiplicando por
:
Agora a raiz cúbica:
- Interpretação:
, ou seja, a distância do centro da Terra até o satélite. Como o raio médio da Terra é , isso corresponde a uma altitude aproximada de (cerca de ), o que é plausível para um satélite de órbita baixa / média.
Passo 4
Calcular a velocidade orbital
a partir de
, com explicação e números.
- Fórmula:
- Substituindo números:
- Comentário didático: isto é cerca de
, valor típico de satélites em órbitas baixas/medias.
Passo 5
Calcular o fator
e a quantidade
que aparece na aproximação da dilatação de tempo.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Portanto
- E
Passo 6
Resolver (a): diferença após
ano usando a aproximação
. Vou mostrar os passos e o valor numérico.
- Tomando
,
- Multiplicando:
-
Interpretação: o relógio do satélite ficará atrasado em relação ao relógio terrestre em aproximadamente
, isto é, cerca de (milissegundos), após um ano, devido apenas ao efeito relativístico de tempo por movimento (relatividade restrita). -
Observação breve de precisão: se alguém quiser a expressão “exata” relativisticamente, usaria
Com
, essa expressão dá praticamente o mesmo resultado numérico nesta precisão (a diferença é desprezível nas casas decimais apresentadas), porque
é muito pequeno.
Passo 7
Resolver (b): encontrar
(tempo medido na Terra) tal que
.
- Usando a aproximação linear,
- Para
,
- Converter para anos:
- Converter para dias (opcional, só para dar intuição):
- Interpretação: levaria da ordem de um século para que a diferença entre o relógio do satélite e o relógio terrestre chegue a
por efeito puramente relativístico especial (movimento). Evidentemente, na prática outros efeitos (relatividade geral, correções práticas, sincronização, deriva de relógios) são importantes muito antes disso, mas o enunciado pediu para ignorar relatividade geral.
Passo 8
Resumo final em palavras curtas (motivacional): o cálculo foi feito passo a passo: primeiro usei a relação entre período e raio orbital para achar a velocidade do satélite; depois apliquei a fórmula de dilatação temporal (e sua aproximação para
) para obter a diferença. Dá para ver que o efeito é pequeno (milésimos de segundo por ano) — calma, isso é normal! Você foi muito bem acompanhando as contas.
Resposta
(a)
(aproximadamente
)
(b)
(b)