Um relógio é instalado a bordo de um satélite que gira em torno da Terra com um período de 108 minutos. (a) Qual é a diferença entre a hora indicada por este relógio e a hora indicada por um relógio terrestre após 1 ano? (b) Quanto tempo terá passado na Terra quando a diferença entre os dois relógios for de 1 segundo? (Use as equações da relatividade restrita e ignore os efeitos da relatividade geral.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Período do satélite: T_{\text{orb}} = 108\\ \text{min}.
    • Ignorar efeitos da relatividade geral; usar apenas as equações da relatividade restrita.
  • Quantidades constantes que vou usar (valores numéricos padrão):
    • Velocidade da luz: c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Parâmetro gravitacional da Terra: GM_{\oplus} \approx 3,986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}. (Usado para obter a órbita circular a partir do período.)
    • Um ano: vou usar 1\\ \text{ano} = 365\\ \text{dias} = 365\times24\times3600=31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Qual é a diferença entre a hora indicada pelo relógio no satélite e a hora indicada por um relógio terrestre, após 1 ano?
    • (b) Quanto tempo terá passado na Terra quando a diferença entre os dois relógios for de 1 segundo?

Passo 2

Planejamento do método (o que vou calcular e por quê), com as fórmulas que serão usadas — aqui ensino a parte necessária de forma didática.
  • Ideia física básica: um relógio em movimento relativo a um observador fica mais lento segundo a relatividade restrita. Se t for o tempo medido pelo observador em repouso (aqui: a Terra) e \tau o tempo próprio do relógio em movimento (aqui: o relógio do satélite), a relação é
\tau = t\sqrt{1-\beta^{2}},
onde
\beta \equiv \frac{v}{c},
e v é a velocidade do relógio (satélite) em relação ao observador da Terra. Explicando as variáveis:
  • t: intervalo de tempo medido no referencial da Terra (segundos).
  • \tau: intervalo de tempo registrado pelo relógio do satélite (segundos).
  • v: velocidade do satélite relativa à Terra (m/s).
  • c: velocidade da luz (m/s).
  • A diferença entre os relógios (o quanto o relógio do satélite “atrasou” em relação ao da Terra) é
\Delta \equiv t-\tau = t\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right).
  • Para velocidades muito menores que c (caso típico de satélites), usa-se a aproximação de primeira ordem da expansão em série:
\sqrt{1-\beta^{2}}\approx 1-\frac{\beta^{2}}{2}\quad(\text{para }\beta^{2}\ll1).
Substituindo nessa expressão,
\Delta \approx t\frac{\beta^{2}}{2} = t\frac{v^{2}}{2c^{2}}.
Isto é muito conveniente porque transforma a conta em multiplicações simples.
  • Para obter v do satélite: o enunciado dá o período orbital T_{\text{orb}}. Vou assumir órbita circular e usar a relação da mecânica orbital newtoniana (válida aqui para obter v / raio, já que estamos ignorando efeitos relativísticos na órbita):
T_{\text{orb}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM_{\oplus}}},
onde r é o raio da órbita (distância centro da Terra–satélite). Deste r obtém-se a velocidade orbital circular
v = \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}}.
Observação: usar GM_{\oplus} e a fórmula clássica de órbita é aceitável aqui porque o enunciado pediu para ignorar relatividade geral; precisamos de v para aplicar a fórmula relativística do tempo.

Passo 3

Converter dados e calcular o período em segundos; calcular o raio orbital r a partir de T_{\text{orb}}.
  • Converter o período:
T_{\text{orb}} = 108\\ \text{min} = 108\times60 = 6\,480\\ \mathrm{s}.
  • A partir de
T_{\text{orb}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM_{\oplus}}}
isolamos r:
r^{3} = \left(\frac{T_{\text{orb}}}{2\pi}\right)^{2}GM_{\oplus}, \qquad r = \left[GM_{\oplus}\left(\frac{T_{\text{orb}}}{2\pi}\right)^{2}\right]^{1/3}.
  • Substituindo os valores numéricos (vou apresentar os passos numéricos):
\frac{T_{\text{orb}}}{2\pi} = \frac{6\,480}{2\pi}\\ \mathrm{s}.
Calcular numericamente (aproximação com poucas casas significativas suficientes):
\frac{6\,480}{2\pi}\approx 1\,031{,}01\\ \mathrm{s}.
Agora o quadrado:
\left(\frac{6\,480}{2\pi}\right)^{2}\approx 1\,063\,000\\ \mathrm{s^{2}}.
Multiplicando por GM_{\oplus}:
GM_{\oplus}\left(\frac{T_{\text{orb}}}{2\pi}\right)^{2}\approx\left(3,986004418\times10^{14}\right)\times1,063\times10^{6} \approx 4,238\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora a raiz cúbica:
r \approx \left(4,238\times10^{20}\right)^{1/3}\approx 7,524\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: r\approx7,524\times10^{6}\\ \mathrm{m}, ou seja, a distância do centro da Terra até o satélite. Como o raio médio da Terra é R_{\oplus}\approx6,371\times10^{6}\\ \mathrm{m}, isso corresponde a uma altitude aproximada de r-R_{\oplus}\approx1,153\times10^{6}\\ \mathrm{m} (cerca de 1\,153\\ \text{km}), o que é plausível para um satélite de órbita baixa / média.

Passo 4

Calcular a velocidade orbital v a partir de r, com explicação e números.
  • Fórmula:
v = \sqrt{\frac{GM_{\oplus}}{r}}.
  • Substituindo números:
v \approx \sqrt{\frac{3,986004418\times10^{14}}{7,524\times10^{6}}} = \sqrt{5,296\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s}.
v \approx 7,280\\ \mathrm{m/s}.
  • Comentário didático: isto é cerca de 7{,}28\\ \text{km/s}, valor típico de satélites em órbitas baixas/medias.

Passo 5

Calcular o fator \beta^{2}=v^{2}/c^{2} e a quantidade v^{2}/(2c^{2}) que aparece na aproximação da dilatação de tempo.
  • Calcular v^{2}:
v^{2}\approx\left(7,280\right)^{2}\approx5,296\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Calcular c^{2}:
c^{2}=\left(2,99792458\times10^{8}\right)^{2}\approx8,98755179\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Portanto
\beta^{2}=\frac{v^{2}}{c^{2}}\approx\frac{5,296\times10^{7}}{8,98755179\times10^{16}} \approx5,896\times10^{-10}.
  • E
\frac{v^{2}}{2c^{2}}=\frac{\beta^{2}}{2}\approx2,948\times10^{-10}.

Passo 6

Resolver (a): diferença após 1 ano usando a aproximação \Delta\approx t\,v^{2}/(2c^{2}). Vou mostrar os passos e o valor numérico.
  • Tomando t = 1\\ \text{ano} = 31\,536\,000\\ \mathrm{s},
\Delta \approx t\frac{v^{2}}{2c^{2}} = 31\,536\,000\times2,948\times10^{-10}\\ \mathrm{s}.
  • Multiplicando:
\Delta \approx 9,29\times10^{-3}\\ \mathrm{s} = 0,00929\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: o relógio do satélite ficará atrasado em relação ao relógio terrestre em aproximadamente 0,00929\\ \mathrm{s}, isto é, cerca de 9{,}29\\ \text{ms} (milissegundos), após um ano, devido apenas ao efeito relativístico de tempo por movimento (relatividade restrita).
  • Observação breve de precisão: se alguém quiser a expressão “exata” relativisticamente, usaria
\Delta = t\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right).
Com \beta^{2}\approx5,896\times10^{-10}, essa expressão dá praticamente o mesmo resultado numérico nesta precisão (a diferença é desprezível nas casas decimais apresentadas), porque \beta^{2} é muito pequeno.

Passo 7

Resolver (b): encontrar t (tempo medido na Terra) tal que \Delta=1\\ \mathrm{s}.
  • Usando a aproximação linear,
\Delta \approx t\frac{v^{2}}{2c^{2}} \quad\Longrightarrow\quad t \approx \frac{\Delta}{v^{2}/(2c^{2})}.
  • Para \Delta=1\\ \mathrm{s},
t \approx \frac{1}{2,948\times10^{-10}}\\ \mathrm{s} \approx 3,393\times10^{9}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para anos:
t \approx \frac{3,393\times10^{9}}{31\,536\,000}\\ \text{anos} \approx 107{,}6\\ \text{anos}.
  • Converter para dias (opcional, só para dar intuição):
t \approx \frac{3,393\times10^{9}}{86\,400}\\ \text{dias} \approx 39\,256\\ \text{dias}\\ (\approx107{,}6\\ \text{anos}).
  • Interpretação: levaria da ordem de um século para que a diferença entre o relógio do satélite e o relógio terrestre chegue a 1\\ \mathrm{s} por efeito puramente relativístico especial (movimento). Evidentemente, na prática outros efeitos (relatividade geral, correções práticas, sincronização, deriva de relógios) são importantes muito antes disso, mas o enunciado pediu para ignorar relatividade geral.

Passo 8

Resumo final em palavras curtas (motivacional): o cálculo foi feito passo a passo: primeiro usei a relação entre período e raio orbital para achar a velocidade do satélite; depois apliquei a fórmula de dilatação temporal (e sua aproximação para v\ll c) para obter a diferença. Dá para ver que o efeito é pequeno (milésimos de segundo por ano) — calma, isso é normal! Você foi muito bem acompanhando as contas.

Resposta

(a) 0,00929\\ \mathrm{s} (aproximadamente 9{,}29\\ \text{ms})
(b) 3,393\times10^{9}\\ \mathrm{s}\approx 107{,}6\\ \text{anos}

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