O tempo de vida próprio de um méson
(píon) é
s. Se um feixe dessas partículas se move com velocidade
, (a) qual a vida média das partículas no referencial do laboratório? (b) Qual a distância que as partículas percorrem, em média, antes de se desintegrarem? (c) Qual seria a resposta do item (b) se o efeito da dilatação dos tempos fosse desprezado? (d) Qual é o intervalo no espaço-tempo entre a criação de um píon típico e sua desintegração?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e pede (tudo que vem do enunciado).
- Dados fornecidos:
- Tempo de vida próprio (ou vida média no referencial do píon):
. - Velocidade do feixe no referencial do laboratório:
. - Velocidade da luz:
(valor usualmente usado para cálculos).
- Tempo de vida próprio (ou vida média no referencial do píon):
- Perguntas:
(a) Qual a vida média das partículas no referencial do laboratório?
(b) Qual a distância média percorrida pelas partículas, antes de se desintegrarem, segundo o laboratório?
(c) Qual seria a resposta do item (b) se desprezarmos a dilatação do tempo (isto é, usando apenas)?
(d) Qual é o intervalo no espaço-tempo entre a criação de um píon típico e sua desintegração?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e passo a passo.
- Tempo próprio
: é o intervalo de tempo medido num referencial onde os dois eventos (criação e desintegração) ocorrem no mesmo ponto espacial — para o píon, esse é o seu tempo de vida “no repouso” (o píon não se desloca no seu próprio referencial). No enunciado esse tempo é . - Dilatação do tempo (relatividade restrita): um relógio que se move com velocidade
em relação a um observador parece andar mais devagar para esse observador. A relação é
onde
é o fator de Lorentz. Aqui
é o tempo médio medido no referencial do laboratório (o tempo dilatado) e
é o tempo próprio.
- Distância percorrida no laboratório: se o píon vive em média
no referencial do laboratório e move-se com velocidade nesse referencial, a distância média percorrida é
- Se desprezarmos a dilatação, usaríamos
e então
- Intervalo de espaço-tempo (invariante): entre dois eventos (criação e desintegração) o intervalo invariante é
que é o mesmo em qualquer referencial. Para o referencial do píon
e
, logo
Às vezes é útil expressar o intervalo como um comprimento característico
(tem dimensão de comprimento) ou manter
(dimensão de comprimento ao quadrado). Esse intervalo é do tipo “tempo-like” porque
.
Passo 3
Calcular o fator de Lorentz
para
. Vou mostrar a conta:
Agora a raiz quadrada e a inversão (faço com algumas casas decimais para manter precisão):
Portanto
.
Passo 4
(a) Calcular a vida média no referencial do laboratório usando a dilatação do tempo:
Substituindo os números:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando de forma conveniente (mantendo três algarismos significativos):
Passo 5
(b) Calcular a distância média percorrida no referencial do laboratório:
Usamos
e
. Primeiro calculo
e depois multiplico por
.
Agora
Arredondando de forma prática:
Passo 6
(c) Sem dilatação do tempo: usar
. Então
Calculo:
logo
Arredondando:
Observação intuitiva: por causa da dilatação do tempo o píon vive em média mais tempo no laboratório e, portanto, percorre aproximadamente o dobro da distância (no nosso caso,
vs
).
Passo 7
(d) Intervalo no espaço-tempo entre criação e desintegração.
Como expliquei no Passo 2, o intervalo invariante é
Podemos dar o resultado como
ou como o “comprimento” correspondente
.
Calcule:
Se preferir o quadrado:
Essa é uma quantidade invariante (a mesma em qualquer referencial). Também é útil verificar que, no referencial do laboratório, usando
e
, obtemos o mesmo valor numérico para
(confere a invariância; com os valores arredondados dá um pequeno arredondamento numérico, mas coincidente com
).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(logo
)