O tempo de vida próprio de um méson \pi (píon) é 2,6 \times 10^{-8} s. Se um feixe dessas partículas se move com velocidade 0,9 c, (a) qual a vida média das partículas no referencial do laboratório? (b) Qual a distância que as partículas percorrem, em média, antes de se desintegrarem? (c) Qual seria a resposta do item (b) se o efeito da dilatação dos tempos fosse desprezado? (d) Qual é o intervalo no espaço-tempo entre a criação de um píon típico e sua desintegração?

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e pede (tudo que vem do enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Tempo de vida próprio (ou vida média no referencial do píon): \tau_0 = 2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
    • Velocidade do feixe no referencial do laboratório: v = 0,9\,c.
    • Velocidade da luz: c = 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s} (valor usualmente usado para cálculos).
  • Perguntas:
    (a) Qual a vida média das partículas no referencial do laboratório?
    (b) Qual a distância média percorrida pelas partículas, antes de se desintegrarem, segundo o laboratório?
    (c) Qual seria a resposta do item (b) se desprezarmos a dilatação do tempo (isto é, usando apenas \tau_0)?
    (d) Qual é o intervalo no espaço-tempo entre a criação de um píon típico e sua desintegração?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e passo a passo.
  • Tempo próprio \tau_0: é o intervalo de tempo medido num referencial onde os dois eventos (criação e desintegração) ocorrem no mesmo ponto espacial — para o píon, esse é o seu tempo de vida “no repouso” (o píon não se desloca no seu próprio referencial). No enunciado esse tempo é \tau_0=2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
  • Dilatação do tempo (relatividade restrita): um relógio que se move com velocidade v em relação a um observador parece andar mais devagar para esse observador. A relação é
t = \gamma\,\tau_0,
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz. Aqui t é o tempo médio medido no referencial do laboratório (o tempo dilatado) e \tau_0 é o tempo próprio.
  • Distância percorrida no laboratório: se o píon vive em média t no referencial do laboratório e move-se com velocidade v nesse referencial, a distância média percorrida é
L = v\,t.
  • Se desprezarmos a dilatação, usaríamos t=\tau_0 e então
L_{\text{sem dilatação}} = v\,\tau_0.çã
  • Intervalo de espaço-tempo (invariante): entre dois eventos (criação e desintegração) o intervalo invariante é
\Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2,
que é o mesmo em qualquer referencial. Para o referencial do píon \Delta x'=0 e \Delta t'=\tau_0, logo
\Delta s^2 = c^2 \tau_0^2.
Às vezes é útil expressar o intervalo como um comprimento característico \Delta s = c\,\tau_0 (tem dimensão de comprimento) ou manter \Delta s^2 (dimensão de comprimento ao quadrado). Esse intervalo é do tipo “tempo-like” porque \Delta s^2>0.

Passo 3

Calcular o fator de Lorentz \gamma para v=0,9\,c. Vou mostrar a conta:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-(0,9)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,81}} = \frac{1}{\sqrt{0,19}}.
Agora a raiz quadrada e a inversão (faço com algumas casas decimais para manter precisão):
\sqrt{0,19}\approx 0,43589\quad\Rightarrow\quad \gamma \approx \frac{1}{0,43589}\approx 2,294.
Portanto \gamma \approx 2,294.

Passo 4

(a) Calcular a vida média no referencial do laboratório usando a dilatação do tempo:
t = \gamma\,\tau_0.
Substituindo os números:
t \approx 2,294 \times 2,6\times10^{-8}\\ \text{s}.
Fazendo a multiplicação:
2,294\times 2,6 = 5,9644\quad\Rightarrow\quad t \approx 5,9644\times10^{-8}\\ \text{s}.
Arredondando de forma conveniente (mantendo três algarismos significativos):
t \approx 5,96\times10^{-8}\\ \text{s}.

Passo 5

(b) Calcular a distância média percorrida no referencial do laboratório:
Usamos L = v\,t e v=0,9\,c. Primeiro calculo c\,t e depois multiplico por 0,9.
c\,t = (3,00\times10^{8}\\ \text{m/s})\times(5,9644\times10^{-8}\\ \text{s}) \approx 17,894\\ \text{m}.
Agora
L = 0,9\times 17,894\\ \text{m} \approx 16,105\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática:
L \approx 16,1\\ \text{m}.

Passo 6

(c) Sem dilatação do tempo: usar t=\tau_0. Então
L_{\text{sem dilatação}} = v\,\tau_0 = 0,9\,c\,\tau_0.çã
Calculo:
c\,\tau_0 = (3,00\times10^{8}\\ \text{m/s})\times(2,6\times10^{-8}\\ \text{s}) = 7,8\\ \text{m},
logo
L_{\text{sem dilatação}} = 0,9\times 7,8\\ \text{m} = 7,02\\ \text{m}.çã
Arredondando:
L_{\text{sem dilatação}} \approx 7,02\\ \text{m}.çã
Observação intuitiva: por causa da dilatação do tempo o píon vive em média mais tempo no laboratório e, portanto, percorre aproximadamente o dobro da distância (no nosso caso, 16,1\\ \text{m} vs 7,02\\ \text{m}).

Passo 7

(d) Intervalo no espaço-tempo entre criação e desintegração.
Como expliquei no Passo 2, o intervalo invariante é
\Delta s^2 = c^2 \tau_0^2.
Podemos dar o resultado como \Delta s^2 ou como o “comprimento” correspondente \Delta s = c\,\tau_0.
Calcule:
\Delta s = c\,\tau_0 = (3,00\times10^{8}\\ \text{m/s})\times(2,6\times10^{-8}\\ \text{s}) = 7,8\\ \text{m}.
Se preferir o quadrado:
\Delta s^2 = (7,8\\ \text{m})^2 = 60,84\\ \text{m}^2.
Essa é uma quantidade invariante (a mesma em qualquer referencial). Também é útil verificar que, no referencial do laboratório, usando \Delta t = t e \Delta x = L, obtemos o mesmo valor numérico para c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 (confere a invariância; com os valores arredondados dá um pequeno arredondamento numérico, mas coincidente com c^2\tau_0^2).

Resposta

(a) t \approx 5,96\times10^{-8}\\ \text{s}
(b) L \approx 16,1\\ \text{m}
(c) L_{\text{sem dilatação}} \approx 7,02\\ \text{m}çã
(d) \Delta s = c\,\tau_0 = 7,8\\ \text{m} (logo \Delta s^2 = 60,84\\ \text{m}^2)

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