No arremesso de peso, o peso é lançado de um ponto acima do ombro do atleta. O ângulo, para o qual a distância atingida pelo peso é máxima, é 45^circ, maior que 45^circ, ou menor que 45^circ ?

Passo 1

Beleza, a questão diz que no arremesso de peso o lançamento sai de um ponto acima do ombro (ou seja, de uma altura inicial ) e pergunta: o ângulo que dá a maior distância é maior, igual ou menor que ? Isso é um problema de movimento de projétil com altura inicial diferente de zero. Para resolver, vamos usar a equação do alcance, derivar em relação ao ângulo e achar onde ela é máxima.

Passo 2

Primeiro, revisando a teoria: num lançamento oblíquo, a posição horizontal e vertical em função do tempo x(t)=v0cosalpha;t, y(t)=h+v0sinalpha;t-tfrac12>^2, são
onde
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a altura inicial (acima do solo),
  • é a aceleração da gravidade.
O alcance é o valor de quando o projétil bate no solo, isto é, quando .

Passo 3

Para achar o tempo de queda 0 = h + v0sinalpha,T - tfrac12gT^2 , resolvemos
T = v0sinalpha + raiz(v0sinalpha)^2 + 2ghg
Isso é uma equação quadrática em R(alpha) = v0cosalpha ; T = v0cosalphagl(v0sinalpha + raizv0^2sin^2alpha + 2ghr) . A solução positiva é
Então o alcance é

Passo 4

Queremos o alphamax < 45^circ que maximiza . Se a gente fizesse (não precisa decorar, mas dá pra ver a ideia): para o termo da raiz faz o lançamento “quicar” mais tempo se o ângulo for muito alto, mas há um contraponto – quanto mais inclinado, menos componente horizontal você tem. O equilíbrio entre esses efeitos dá um ângulo menor que .
Se fosse , dá exatamente . Mas com , ficamos com

Resposta

O ângulo ótimo é menor que .

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