Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos argumentos (A, B, C ou D) justifica a conclusão de que é possível obter, ao cortar uma pirâmide de base quadrada com um plano, uma peça cuja face de interseção seja um polígono de
lados (pentágono). Informações dadas no enunciado que vamos usar: a pirâmide tem base quadrada (logo a base é um quadrado) e, portanto, a pirâmide tem
faces laterais triangulares mais a face da base, totalizando
faces; um plano intersecta a pirâmide produzindo um polígono de interseção formado pelas interseções do plano com as arestas/faces da pirâmide. Não vou resolver aqui, só enumerei o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Passo 2
Entender o que significa “um plano intersecta uma face”: pense numa face triangular (uma das laterais) ou na face quadrada (a base). Quando um plano corta uma face triangular ou uma face quadrada, as possibilidades de interseção são limitadas — ou o plano não toca a face, ou toca num ponto (caso passe por um vértice), ou intersecta a face ao longo de um segmento de reta (caso corte a região interior da face), ou coincide parcialmente com a face (caso degenerado que não interessa aqui). Em linguagem simples: se o plano “passa pelo meio” de uma face triangular ou quadrada, a interseção típica é um segmento de reta. Isso é uma propriedade geométrica básica: a interseção de duas superfícies planas é uma reta; ao cortar uma região plana (triângulo ou quadrado) por outra reta/ plano, você normalmente obtém um segmento.
Passo 3
Agora, aplicação ao caso: a pirâmide de base quadrada tem
faces: uma base quadrada e
faces laterais triangulares. Se escolhemos um plano que atravessa a pirâmide de modo genérico (não passando exatamente por vértices nem sendo paralelo a alguma face), é possível que esse plano corte cada uma das
faces no seu interior. Quando isso acontece, em cada face a interseção é um segmento de reta (pelo argumento do Passo 2). Esses
segmentos, todos coplanares (porque vêm do mesmo plano), juntam-se formando um polígono convexo fechado cujo número de lados é igual ao número de segmentos que apareceram — isto é, igual ao número de faces cortadas.
Passo 4
Detalhe importante: os vértices desse polígono de interseção surgem exatamente onde o plano corta as arestas da pirâmide (a junção entre duas faces). Se o plano corta todas as
faces “no interior” (isto é, sem passar por vértices), então vai cortar
arestas distintas em pontos que se ligam sequencialmente, produzindo um polígono de
lados. Portanto existe uma posição do plano que corta todas as
faces e gera um pentágono — não é só teoria abstrata, é um corte realizável geometricamente (basta inclinar/posicionar o plano adequadamente).
Passo 5
Por que as outras alternativas estão erradas (resumo didático):
- A) Diz que só há
arestas laterais e que a interseção forma necessariamente um polígono de lados — isso ignora que a base também pode ser intersectada pelo plano; portanto não é argumento completo. - B) Mistura conceitos (dividir uma face em triângulo e trapézio) que não justificam o número de lados do polígono de interseção; além disso a conclusão “um dos polígonos tem 4 lados” não responde nem explica a possibilidade do pentágono.
- D) Afirma uma regra universal (“o número de lados é igual ao número de faces”) sem condicionamento; essa afirmação é falsa em geral (depende de quais faces o plano corta e como corta). A opção C é precisa ao afirmar que, se o plano interceptar todas as faces, cada interseção com uma face será um segmento e, portanto, o polígono terá
lados.
Resposta
C