Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento no transporte vertical com água a 20^{\circ} \mathrm{C}, de partículas esféricas ( \rho_{\mathrm{s}}=4,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) com diâmetro de 85,2 \mu \mathrm{m} em tubo liso com diâmetro de 8,5 \mathrm{~cm}. As vazões de sólido e de fluido são 1392 \mathrm{~g} / \mathrm{s} e 2557 \mathrm{~g} / \mathrm{s}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão por unidade de comprimento no transporte vertical de uma suspensão água+partículas. Dados fornecidos (vou transformar unidades para o SI):
\dot m_s=1392\\ \text{g/s}=1{,}392\\ \text{kg/s}
\dot m_f=2557\\ \text{g/s}=2{,}557\\ \text{kg/s}
\rho_s=4{,}7\\ \text{g/cm}^3=4700\\ \text{kg/m}^3
D=8{,}5\\ \text{cm}=0{,}085\\ \text{m}
d_p=85{,}2\\ \mu\text{m}=85{,}2\times10^{-6}\\ \text{m}
Temperatura 20^\circ\mathrm{C}: usarei a densidade e viscosidade da água \rho_f=998\\ \text{kg/m}^3 e \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
O que se pede: a queda de pressão por unidade de comprimento \displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta z} (em \text{Pa/m}) para o transporte vertical ascendente.

Passo 2

Estratégia adotada (aqui só explico a ideia, a conta começa no Passo 3): vou usar o modelo homogêneo (suspensão tratada como fluido único) porque temos vazões de massa e podemos calcular a densidade média da mistura. Nessa aproximação a perda de pressão por unidade de comprimento na subida vertical é soma da componente gravitacional (peso da mistura por volume) e da componente por atrito na parede:
\frac{\Delta p}{\Delta z}=\underbrace{\rho_m g}_{\text{peso da mistura por m}}+\underbrace{\frac{f\,\rho_m U^2}{2D}}_{\text{perda por atrito}},
onde
  • \rho_m é a densidade média da mistura (kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \text{m/s}^2),
  • f é o fator de atrito adimensional (usarei a correlação de Blasius para regime turbulento suave),
  • U é a velocidade média da mistura (m/s),
  • D é o diâmetro do tubo (m).
Vou calcular passo a passo Q, U, fração volumétrica de sólidos, \rho_m, Re, f, depois as duas parcelas e somar.

Passo 3

Calcular as vazões volumétricas do fluido e do sólido e a vazão volumétrica total:
Q_f=\frac{\dot m_f}{\rho_f}=\frac{2{,}557}{998}=0{,}002562126\\ \text{m}^3/\text{s}
Q_s=\frac{\dot m_s}{\rho_s}=\frac{1{,}392}{4700}=0{,}000296170\\ \text{m}^3/\text{s}
Q=Q_f+Q_s=0{,}002562126+0{,}000296170=0{,}002858296\\ \text{m}^3/\text{s}
Área da secção do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}085)^2}{4}=0{,}00567403\\ \text{m}^2
Velocidade média da mistura:
U=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}002858296}{0{,}00567403}=0{,}50380\\ \text{m/s}.

Passo 4

Calcular a fração volumétrica de sólidos \varphi e a densidade média da mistura \rho_m. Definições:
\varphi=\frac{Q_s}{Q},\qquad \rho_m=\varphi\,\rho_s+(1-\varphi)\,\rho_f.
Cálculo:
\varphi=\frac{0{,}000296170}{0{,}002858296}=0{,}103636\\ (\approx10{,}36\% \text{ em volume})
\rho_m=0{,}103636\cdot4700+0{,}896364\cdot998=487{,}090+894{,}571=1381{,}661\\ \text{kg/m}^3.
Interpretação rápida: a mistura é mais densa que a água por causa das partículas pesadas.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds da mistura e o fator de atrito f. Nós usamos a definição clássica de Reynolds para fluxo interno turbulento:
\mathrm{Re}=\frac{\rho_m U D}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1381{,}661\cdot0{,}50380\cdot0{,}085}{1{,}002\times10^{-3}}.
Vamos calcular passo a passo:
1381{,}661\cdot0{,}50380=696{,}644,\qquad 696{,}644\cdot0{,}085=59{,}21573,
\mathrm{Re}=\frac{59{,}21573}{1{,}002\times10^{-3}}=59{,}096\\ (\approx5{,}91\times10^{4}).
Esse \mathrm{Re} indica regime turbulento (maior que 4000). Para tubo liso e \mathrm{Re} nesta faixa posso usar a correlação de Blasius (válida aproximadamente até 10^5):
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Logo
f=0{,}3164\cdot(59{,}096)^{-0{,}25}=0{,}01582.
Explicação curta: f é o fator adimensional que relaciona a perda por atrito com a energia cinética do escoamento; a fórmula de Blasius é uma boa aproximação para tubos lisos em turbulência moderada.

Passo 6

Calcular as duas parcelas da queda de pressão por metro.
(a) Parcela gravitacional (peso da mistura por unidade de comprimento):
\left(\frac{\Delta p}{\Delta z}\right)_{g}=\rho_m g=1381{,}661\cdot9{,}81=13{,}560{,}5\\ \text{Pa/m}.
(b) Parcela por atrito (perda por unidade de comprimento):
A fórmula é
\left(\frac{\Delta p}{\Delta z}\right)_{\text{atrito}}=\frac{f\,\rho_m U^2}{2D}.
Calcule \rho_m U^2/2:
U^2=0{,}50380^2=0{,}253816,\qquad \frac{\rho_m U^2}{2}=\frac{1381{,}661\cdot0{,}253816}{2}=175{,}4255\\ \text{Pa}.
Agora
\left(\frac{\Delta p}{\Delta z}\right)_{\text{atrito}}=\frac{0{,}01582\cdot175{,}4255}{0{,}085}=32{,}63\\ \text{Pa/m}.

Passo 7

Somar as duas parcelas para obter a queda de pressão total por unidade de comprimento:
\frac{\Delta p}{\Delta z}=\left(\frac{\Delta p}{\Delta z}\right)_{g}+\left(\frac{\Delta p}{\Delta z}\right)_{\text{atrito}}=13{,}560{,}5+32{,}63=13{,}593{,}1\\ \text{Pa/m}.
Comentário prático: a parcela gravitacional domina fortemente aqui; a perda por atrito é pequena em comparação.

Resposta

1{,}3593\times10^{4}\\ \text{Pa/m}

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