Calcule a queda de pressão por unidade de comprimento no transporte vertical com água a 20^{\circ} \mathrm{C}, de partículas esféricas ( \rho_{\mathrm{s}}=4,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) com diâmetro de 85,2 \mu \mathrm{m} em tubo liso com diâmetro de 8,5 \mathrm{~cm}. As vazões de sólido e de fluido são 1392 \mathrm{~g} / \mathrm{s} e 2557 \mathrm{~g} / \mathrm{s}, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede a queda de pressão por unidade de comprimento no transporte vertical de uma suspensão água+partículas. Dados fornecidos (vou transformar unidades para o SI):
Temperatura 20^\circ\mathrm{C}: usarei a densidade e viscosidade da água \rho_f=998\\ \text{kg/m}^3 e \mu=1{,}002\times10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
O que se pede: a queda de pressão por unidade de comprimento \displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta z} (em \text{Pa/m}) para o transporte vertical ascendente.
Passo 2
Estratégia adotada (aqui só explico a ideia, a conta começa no Passo 3): vou usar o modelo homogêneo (suspensão tratada como fluido único) porque temos vazões de massa e podemos calcular a densidade média da mistura. Nessa aproximação a perda de pressão por unidade de comprimento na subida vertical é soma da componente gravitacional (peso da mistura por volume) e da componente por atrito na parede:
\frac{\Delta p}{\Delta z}=\underbrace{\rho_m g}_{\text{peso da mistura por m}}+\underbrace{\frac{f\,\rho_m U^2}{2D}}_{\text{perda por atrito}},
onde
\rho_m é a densidade média da mistura (kg/m^3),
g é a aceleração da gravidade (9{,}81\\ \text{m/s}^2),
f é o fator de atrito adimensional (usarei a correlação de Blasius para regime turbulento suave),
U é a velocidade média da mistura (m/s),
D é o diâmetro do tubo (m).
Vou calcular passo a passo Q, U, fração volumétrica de sólidos, \rho_m, Re, f, depois as duas parcelas e somar.
Passo 3
Calcular as vazões volumétricas do fluido e do sólido e a vazão volumétrica total:
Esse \mathrm{Re} indica regime turbulento (maior que 4000). Para tubo liso e \mathrm{Re} nesta faixa posso usar a correlação de Blasius (válida aproximadamente até 10^5):
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
Logo
f=0{,}3164\cdot(59{,}096)^{-0{,}25}=0{,}01582.
Explicação curta: f é o fator adimensional que relaciona a perda por atrito com a energia cinética do escoamento; a fórmula de Blasius é uma boa aproximação para tubos lisos em turbulência moderada.
Passo 6
Calcular as duas parcelas da queda de pressão por metro.
(a) Parcela gravitacional (peso da mistura por unidade de comprimento):