O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm .
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 \mathrm{~cm}, 26 \mathrm{~cm}, 30 \mathrm{~cm}, 35 \mathrm{~cm} e 60 cm . O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação para \sqrt{ } 3.
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
A) 18 .
B) 26 .
C) 30 .
D) 35 .

Passo 1

O enunciado pede que escolhamos, entre cinco tampos circulares padronizados, o tampo de menor diâmetro (ou seja, menor raio) que seja suficiente para cobrir totalmente a base superior do suporte da mesa. Informações dadas:
  • A base do suporte tem a forma de triângulo equilátero com lado 30\\ \text{cm}.
  • Os raios disponíveis na loja são \,18\\ \text{cm},\\\ 26\\ \text{cm},\\\ 30\\ \text{cm},\\\ 35\\ \text{cm} e \,60\\ \text{cm}.
  • Use \sqrt{3}\approx1,7.
    A pergunta explícita: qual dos raios listados é o menor que garante cobrir toda a base triangular?

Passo 2

Vamos entender qual é o menor círculo que contém um triângulo equilátero. Idea-chave: se colocarmos o centro do círculo no centro do triângulo equilátero (que coincide com circuncentro, baricentro e incentro), então os três vértices do triângulo ficam à mesma distância desse centro — essa distância é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo (circunraio). Como os vértices são os pontos do triângulo mais distantes do centro, um círculo com raio igual ao circunraio contém todo o triângulo. Para um triângulo equilátero de lado a, existe uma fórmula simples para o circunraio R; vamos deduzir ela com calma.
Dedução passo a passo:
  • A altura h de um triângulo equilátero de lado a é dada por decompor o triângulo em dois triângulos retângulos: a altura vale
h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Expliquei: ao traçar a altura, ela divide o lado a em dois segmentos de comprimento a/2; pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formador, h^2=(a)^2-(a/2)^2=a^2-\tfrac{a^2}{4}=\tfrac{3a^2}{4}, daí h=a\sqrt{3}/2.
  • Em um triângulo equilátero, o circuncentro fica a 2/3 da altura medida a partir do vértice até a base (ou equivalentemente, a 1/3 da altura a partir da base). Assim o circunraio R vale
R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
  • Simplificando \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}. Portanto, para lado a,
R=\frac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Aplicando ao nosso triângulo de lado a=30\\ \text{cm}:
R=\frac{30}{\sqrt{3}}.
Usando a aproximação dada \sqrt{3}\approx1,7, fazemos
R\approx\frac{30}{1,7}=\frac{300}{17}\approx17,647\ldots\\ \text{cm}.
Expliquei a divisão: multipliquei numerador e denominador por 10 para ficar 300/17; 17 cabe 17 vezes em 300 (pois 17\cdot17=289), sobrando resto 11, o que dá a parte decimal aproximada 0,647\ldots. Assim R\approx17,65\\ \text{cm} (arredondando).

Passo 4

Agora comparamos esse valor com os raios disponíveis. Precisamos do menor raio disponível que seja maior ou igual ao circunraio calculado ( R\approx17,65\\ \text{cm}).
  • 18\\ \text{cm} é maior que 17,65\\ \text{cm}.
  • Os demais ( 26,\\\ 30,\\\ 35,\\\ 60) também são maiores, mas são maiores que o necessário.
    Logo o menor raio da lista que atende é 18\\ \text{cm}.

Passo 5

Resumo do raciocínio (para guardar na prova): o menor círculo que contém um triângulo equilátero tem raio igual ao circunraio R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}. Para a=30 obtemos R\approx17,65\\ \text{cm}. Entre os raios disponíveis, 18\\ \text{cm} é o menor que cobre o triângulo, então é a escolha correta. Vai dar certo — respira, você entendeu a ideia central!

Resposta

A) 18

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