O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30 cm .
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem
e 60 cm . O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação para
.
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
A) 18 .
B) 26 .
C) 30 .
D) 35 .
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em centímetros, é igual a
A) 18 .
B) 26 .
C) 30 .
D) 35 .
Passo 1
O enunciado pede que escolhamos, entre cinco tampos circulares padronizados, o tampo de menor diâmetro (ou seja, menor raio) que seja suficiente para cobrir totalmente a base superior do suporte da mesa. Informações dadas:
- A base do suporte tem a forma de triângulo equilátero com lado
. - Os raios disponíveis na loja são
e . - Use
.
A pergunta explícita: qual dos raios listados é o menor que garante cobrir toda a base triangular?
Passo 2
Vamos entender qual é o menor círculo que contém um triângulo equilátero. Idea-chave: se colocarmos o centro do círculo no centro do triângulo equilátero (que coincide com circuncentro, baricentro e incentro), então os três vértices do triângulo ficam à mesma distância desse centro — essa distância é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo (circunraio). Como os vértices são os pontos do triângulo mais distantes do centro, um círculo com raio igual ao circunraio contém todo o triângulo. Para um triângulo equilátero de lado
, existe uma fórmula simples para o circunraio
; vamos deduzir ela com calma.
Dedução passo a passo:
- A altura
de um triângulo equilátero de lado é dada por decompor o triângulo em dois triângulos retângulos: a altura vale
Expliquei: ao traçar a altura, ela divide o lado
em dois segmentos de comprimento
; pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formador,
, daí
.
- Em um triângulo equilátero, o circuncentro fica a
da altura medida a partir do vértice até a base (ou equivalentemente, a da altura a partir da base). Assim o circunraio vale
- Simplificando
. Portanto, para lado ,
Passo 3
Aplicando ao nosso triângulo de lado
:
Usando a aproximação dada
, fazemos
Expliquei a divisão: multipliquei numerador e denominador por
para ficar
;
cabe
vezes em
(pois
), sobrando resto
, o que dá a parte decimal aproximada
. Assim
(arredondando).
Passo 4
Agora comparamos esse valor com os raios disponíveis. Precisamos do menor raio disponível que seja maior ou igual ao circunraio calculado (
).
-
é maior que . - Os demais (
) também são maiores, mas são maiores que o necessário.
Logo o menor raio da lista que atende é.
Passo 5
Resumo do raciocínio (para guardar na prova): o menor círculo que contém um triângulo equilátero tem raio igual ao circunraio
. Para
obtemos
. Entre os raios disponíveis,
é o menor que cobre o triângulo, então é a escolha correta. Vai dar certo — respira, você entendeu a ideia central!
Resposta
A)