An article in Atmospheric Chemistry and Physics “Relationship Between Particulate Matter and Childhood AsthmaBasis of a Future Warning System for Central Phoenix” (2012, Vol. 12, pp. 2479-2490)] reported the use of PM10 (particulate matter (<10 \mu \mathrm{~m}) diameter) air quality data measured hourly from sensors in Phoenix, Arizona. The 24-hour (daily) mean PM10 for a centrally located sensor was (50.9 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}) with a standard deviation of 25.0. Assume that the daily mean of PM10 is normally distributed.
(a) What is the probability of a daily mean of PM10 greater than (100 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}) ?
(b) What is the probability of a daily mean of PM10 less than (25 \mu \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}) ?
(c) What daily mean of PM10 value is exceeded with probability (5 \%) ?

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de informações e faz três perguntas. Vou listar tudo com clareza para não nos perder:
  • Informação: a média (valor esperado) da distribuição diária de PM10 é \mu = 50{,}9\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
  • Informação: o desvio-padrão é \sigma = 25{,}0\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
  • Informação: assumimos que a média diária de PM10 segue uma distribuição normal.
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de a média diária ser maior que 100\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3?
  • Pergunta (b): Qual a probabilidade de a média diária ser menor que 25\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3?
  • Pergunta (c): Que valor de média diária de PM10 é excedido com probabilidade 5\%?

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicadinho): a distribuição normal.
  • Quando dizemos que X é normal com média \mu e desvio-padrão \sigma escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^2). Aqui \mu é o centro da distribuição (valor médio esperado) e \sigma mede a dispersão (quanto os valores tendem a se afastar da média).
  • Para calcular probabilidades do tipo P(X>a) ou P(X<b) transformamos X em uma variável padronizada Z que é normal padrão, isto é Z\sim N(0,1). A transformação é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso corrige a média para zero e o desvio-padrão para 1, permitindo usar a tabela/funcão de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Depois de obter um z usamos \Phi(z) para achar probabilidades: P(X>a)=1-\Phi\big(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\big) e P(X<b)=\Phi\big(\tfrac{b-\mu}{\sigma}\big).
    Vou aplicar isso passo a passo para (a), (b) e (c).

Passo 3

Parte (a): calcular P(X>100).
  • Primeiro calculamos o escore z:
z=\frac{100-\mu}{\sigma}=\frac{100-50{,}9}{25{,}0}=\frac{49{,}1}{25{,}0}=1{,}964.
  • Agora usamos a normal padrão: P(X>100)=1-\Phi(1{,}964).
  • Consultando tabela/funcão da normal padrão (ou lembrando que \Phi(1{,}96)\approx 0{,}9750), para z=1{,}964 obtemos aproximadamente \Phi(1{,}964)\approx 0{,}9753.
  • Portanto
P(X>100)\approx 1-0{,}9753=0{,}0247.
Interpretação: cerca de 2{,}47\% dos dias terão média de PM10 acima de 100\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.

Passo 4

Parte (b): calcular P(X<25).
  • Primeiro o escore z:
z=\frac{25-\mu}{\sigma}=\frac{25-50{,}9}{25{,}0}=\frac{-25{,}9}{25{,}0}=-1{,}036.
  • Usamos P(X<25)=\Phi(-1{,}036). Pela simetria da normal padrão \Phi(-z)=1-\Phi(z), então \Phi(-1{,}036)=1-\Phi(1{,}036).
  • Consultando a tabela/funcão: \Phi(1{,}036)\approx 0{,}8499, então
\Phi(-1{,}036)\approx 1-0{,}8499=0{,}1501.
Interpretação: cerca de 15{,}01\% dos dias terão média de PM10 abaixo de 25\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.

Passo 5

Parte (c): encontrar x tal que P(X>x)=0{,}05.
  • A condição P(X>x)=0{,}05 é equivalente a P(X\le x)=0{,}95. Ou seja, x é o quantil de 95\%.
  • Em termos da normal padrão precisamos achar z_{0{,}95} tal que \Phi(z_{0{,}95})=0{,}95. Esse valor é bem conhecido: z_{0{,}95}\approx 1{,}645. (Se preferir, você pode ver na tabela da normal padrão que \Phi(1{,}645)\approx 0{,}9500.)
  • Transformando de volta para X usamos x=\mu + z\sigma. Logo
x=\mu + z_{0{,}95}\sigma = 50{,}9 + 1{,}645\times 25{,}0 = 50{,}9 + 41{,}125 = 92{,}025.
  • Arredondando de forma prática para uma casa decimal (ou para inteiro se preferir), obtemos x\approx 92{,}0\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
    Interpretação: apenas 5\% dos dias têm média de PM10 maior que cerca de 92{,}0\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.

Passo 6

Resumo final rápido dos resultados (para fixar): as probabilidades e o quantil que pediram foram calculados usando a padronização para a normal padrão, consultando a função acumulada \Phi, e transformando de volta quando necessário. Se você estiver fazendo isso na prova sem tabela, memorize pelo menos os valores-chave: \Phi(1{,}645)\approx 0{,}95, \Phi(1{,}96)\approx 0{,}975. Vai ajudar muito.

Resposta

(a) P(X>100)\approx 0{,}0247.
(b) P(X<25)\approx 0{,}1501.
(c) Valor com probabilidade de excedência 5\%: x\approx 92{,}0\\ \mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3.

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