An article in Atmospheric Chemistry and Physics “Relationship Between Particulate Matter and Childhood AsthmaBasis of a Future Warning System for Central Phoenix” (2012, Vol. 12, pp. 2479-2490)] reported the use of PM10 (particulate matter
diameter) air quality data measured hourly from sensors in Phoenix, Arizona. The 24-hour (daily) mean PM10 for a centrally located sensor was
with a standard deviation of 25.0. Assume that the daily mean of PM10 is normally distributed.
(a) What is the probability of a daily mean of PM10 greater than
?
(b) What is the probability of a daily mean of PM10 less than
?
(c) What daily mean of PM10 value is exceeded with probability
?
(a) What is the probability of a daily mean of PM10 greater than
(b) What is the probability of a daily mean of PM10 less than
(c) What daily mean of PM10 value is exceeded with probability
Passo 1
O enunciado dá um conjunto de informações e faz três perguntas. Vou listar tudo com clareza para não nos perder:
- Informação: a média (valor esperado) da distribuição diária de PM10 é
. - Informação: o desvio-padrão é
. - Informação: assumimos que a média diária de PM10 segue uma distribuição normal.
- Pergunta (a): Qual a probabilidade de a média diária ser maior que
? - Pergunta (b): Qual a probabilidade de a média diária ser menor que
? - Pergunta (c): Que valor de média diária de PM10 é excedido com probabilidade
?
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicadinho): a distribuição normal.
- Quando dizemos que
é normal com média e desvio-padrão escrevemos . Aqui é o centro da distribuição (valor médio esperado) e mede a dispersão (quanto os valores tendem a se afastar da média). - Para calcular probabilidades do tipo
ou transformamos em uma variável padronizada que é normal padrão, isto é . A transformação é:
Isso corrige a média para zero e o desvio-padrão para 1, permitindo usar a tabela/funcão de distribuição acumulada da normal padrão,
.
- Depois de obter um
usamos para achar probabilidades: e .
Vou aplicar isso passo a passo para (a), (b) e (c).
Passo 3
Parte (a): calcular
.
- Primeiro calculamos o escore
:
- Agora usamos a normal padrão:
. - Consultando tabela/funcão da normal padrão (ou lembrando que
), para obtemos aproximadamente . - Portanto
Interpretação: cerca de
dos dias terão média de PM10 acima de
.
Passo 4
Parte (b): calcular
.
- Primeiro o escore
:
- Usamos
. Pela simetria da normal padrão , então . - Consultando a tabela/funcão:
, então
Interpretação: cerca de
dos dias terão média de PM10 abaixo de
.
Passo 5
Parte (c): encontrar
tal que
.
- A condição
é equivalente a . Ou seja, é o quantil de . - Em termos da normal padrão precisamos achar
tal que . Esse valor é bem conhecido: . (Se preferir, você pode ver na tabela da normal padrão que .) - Transformando de volta para
usamos . Logo
- Arredondando de forma prática para uma casa decimal (ou para inteiro se preferir), obtemos
.
Interpretação: apenasdos dias têm média de PM10 maior que cerca de .
Passo 6
Resumo final rápido dos resultados (para fixar): as probabilidades e o quantil que pediram foram calculados usando a padronização para a normal padrão, consultando a função acumulada
, e transformando de volta quando necessário. Se você estiver fazendo isso na prova sem tabela, memorize pelo menos os valores-chave:
,
. Vai ajudar muito.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Valor com probabilidade de excedência :
.
(b)
(c) Valor com probabilidade de excedência