Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 8 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85 \% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que pelo menos 6 dos itens extraídos sejam aceitáveis?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que pelo menos 6 dos itens extraídos sejam aceitáveis?”\n
Informações dadas:
\text{tamanho da amostra } n=8
\text{probabilidade de um item ser aceitável } p=0,85á
\text{evento de interesse: pelo menos 6 aceitáveis, ou seja } X\ge 6á
Nada mais será assumido. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Por que podemos modelar isso com uma distribuição binomial? Aqui vai a explicação didática e direta, como se eu estivesse te contando no corredor da faculdade: você tem um experimento com n tentativas independentes (cada item inspecionado), cada tentativa tem apenas dois resultados relevantes (aceitável = “sucesso” ou não aceitável = “falha”), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa ( p=0,85 ). Essas são exatamente as condições para usar a distribuição binomial. Então definimos a variável aleatória
X \sim \text{Binomial}(n=8,\,p=0,85)
onde X é o número de itens aceitáveis na amostra de 8. Explico a fórmula básica que vamos usar: para k=0,1,\dots,n,
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas deram sucesso entre n,
  • p^{k} é a probabilidade de ter k sucessos,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de ter as n-k falhas restantes.
Também lembro como calcular o coeficiente combinatório:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 3

A probabilidade pedida é a de “pelo menos 6”, isto é
P(X\ge 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8).
Agora vamos aplicar a fórmula da binomial para cada termo com n=8 e p=0,85. Os coeficientes necessários são
\binom{8}{6}=28,\qquad \binom{8}{7}=8,\qquad \binom{8}{8}=1.
Logo as probabilidades individuais são:
P(X=6)=28\,(0,85)^{6}\,(0,15)^{2},
P(X=7)=8\,(0,85)^{7}\,(0,15)^{1},
P(X=8)=(0,85)^{8}.

Passo 4

Vamos calcular as potências de 0,85 e de 0,15 passo a passo para não errar na prova:
(0,85)^{2}=0,7225
(0,85)^{3}=0,614125
(0,85)^{4}=0,52200625
(0,85)^{5}=0,4437053125
(0,85)^{6}=0,377149515625
(0,85)^{7}=0,32057708828125
(0,85)^{8}=0,2724905250390625
E
(0,15)^{1}=0,15,\qquad (0,15)^{2}=0,0225.

Passo 5

Agora calcule cada termo com essas potências (faça as multiplicações passo a passo como abaixo na prova):
P(X=6)=28\cdot 0,377149515625\cdot 0,0225
Calculei em etapas:
0,377149515625\cdot 0,0225=0,0084858641015625
28\cdot 0,0084858641015625=0,23760419484375
Portanto
P(X=6)\approx 0,2376041948.
Agora P(X=7):
P(X=7)=8\cdot 0,32057708828125\cdot 0,15
0,32057708828125\cdot 0,15=0,0480865632421875
8\cdot 0,0480865632421875=0,3846925059375
Portanto
P(X=7)\approx 0,3846925059.
E P(X=8) já temos a potência:
P(X=8)=0,2724905250390625\approx 0,2724905250.

Passo 6

Somando os três termos para obter a probabilidade pedida:
P(X\ge 6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)
P(X\ge 6)\approx 0,2376041948+0,3846925059+0,2724905250
P(X\ge 6)\approx 0,8947872258.
Dica de prova: às vezes é mais rápido calcular o complementar P(X\ge 6)=1-P(X\le 5) se os termos de k\le5 forem mais fáceis de somar ou se você tiver tabela/tecnologia. Aqui somar os três termos diretos foi bem tranquilo.

Resposta

0,8947872258

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