Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 8 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir
de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que pelo menos 6 dos itens extraídos sejam aceitáveis?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que pelo menos 6 dos itens extraídos sejam aceitáveis?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Nada mais será assumido. Agora vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Por que podemos modelar isso com uma distribuição binomial? Aqui vai a explicação didática e direta, como se eu estivesse te contando no corredor da faculdade: você tem um experimento com
tentativas independentes (cada item inspecionado), cada tentativa tem apenas dois resultados relevantes (aceitável = “sucesso” ou não aceitável = “falha”), e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa (
). Essas são exatamente as condições para usar a distribuição binomial. Então definimos a variável aleatória
onde
é o número de itens aceitáveis na amostra de 8. Explico a fórmula básica que vamos usar: para
,
Aqui:
-
é o número de maneiras de escolher quais tentativas deram sucesso entre , -
é a probabilidade de ter sucessos, -
é a probabilidade de ter as falhas restantes.
Também lembro como calcular o coeficiente combinatório:
Passo 3
A probabilidade pedida é a de “pelo menos 6”, isto é
Agora vamos aplicar a fórmula da binomial para cada termo com
e
. Os coeficientes necessários são
Logo as probabilidades individuais são:
Passo 4
Vamos calcular as potências de
e de
passo a passo para não errar na prova:
E
Passo 5
Agora calcule cada termo com essas potências (faça as multiplicações passo a passo como abaixo na prova):
Calculei em etapas:
Portanto
Agora
:
Portanto
E
já temos a potência:
Passo 6
Somando os três termos para obter a probabilidade pedida:
Dica de prova: às vezes é mais rápido calcular o complementar
se os termos de
forem mais fáceis de somar ou se você tiver tabela/tecnologia. Aqui somar os três termos diretos foi bem tranquilo.