Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 8 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém
de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?
Passo 1
O enunciado pede: qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?\n\nInformações fornecidas pelo enunciado:\n\n- A amostra tem tamanho
.\n- A proporção (probabilidade) de tubos defeituosos na carga é
(ou
).\n- A amostra é extraída aleatoriamente de uma carga “muito grande” (isso permite tratar as retiradas como praticamente independentes).\n\nO que precisamos calcular: a probabilidade de ocorrerem
,
ou
tubos defeituosos na amostra de
, ou seja, a probabilidade de
onde
é o número de defeituosos.
Passo 2
Modelagem do problema e fórmula que vamos usar.\n\nComo a carga é muito grande e cada tubo tem probabilidade
fixa de ser defeituoso, podemos modelar
como uma variável que conta sucessos em
ensaios independentes com probabilidade de sucesso
. A expressão para a probabilidade de exatamente
defeituosos é a fórmula\n
onde:\n\n-
é o número de maneiras de escolher quais
itens entre
são defeituosos (combinações),\n-
é a probabilidade de ocorrerem os
defeituosos,\n-
é a probabilidade dos
restantes serem não defeituosos.\n\nAqui temos
e
. Precisamos somar
.
Passo 3
Cálculo de
.\n\nUsando a fórmula com
:\n
\n\nAvaliação dos termos:\n
\n\nCalculando
. Podemos fazer por sucessivas potências:
,
,
.\n\nLogo\n
Passo 4
Cálculo de
.\n\nUsando a fórmula com
:\n
\n\nAvaliação dos termos:\n
\n\nPara
podemos usar
\n\nAgora multiplicamos:\n
\n\nPrimeiro
. Então\n
Passo 5
Cálculo de
.\n\nUsando a fórmula com
:\n
\n\nAvaliação dos termos:\n
\n\nPara
podemos usar
\n\nAgora multiplicamos:\n
\n\nPrimeiro
. Então\n
Passo 6
Somando as probabilidades para obter
.\n\nTemos os valores:\n
\n
\n
\n\nSomando:\n
\n\nArredondando para quatro casas decimais fica aproximadamente
, ou cerca de
.
Passo 7
Dica rápida para a prova (curto e prático):\n\n- Identifique
e
e use a soma das probabilidades binomiais de
até
.\n- Se precisar fazer sem calculadora, calcule potências de
por quadrados sucessivos como mostrei, e use combinações simples como
.\n\nVai dar certo — respira e confia no passo a passo que aprendeu aqui!