Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 8 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20 \% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?\n\nInformações fornecidas pelo enunciado:\n\n- A amostra tem tamanho n=8.\n- A proporção (probabilidade) de tubos defeituosos na carga é p=0{,}20 (ou 20\%).\n- A amostra é extraída aleatoriamente de uma carga “muito grande” (isso permite tratar as retiradas como praticamente independentes).\n\nO que precisamos calcular: a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 tubos defeituosos na amostra de 8, ou seja, a probabilidade de X\le 2 onde X é o número de defeituosos.

Passo 2

Modelagem do problema e fórmula que vamos usar.\n\nComo a carga é muito grande e cada tubo tem probabilidade p fixa de ser defeituoso, podemos modelar X como uma variável que conta sucessos em n ensaios independentes com probabilidade de sucesso p. A expressão para a probabilidade de exatamente k defeituosos é a fórmula\n P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:\n\n- \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k itens entre n são defeituosos (combinações),\n- p^{k} é a probabilidade de ocorrerem os k defeituosos,\n- (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade dos n-k restantes serem não defeituosos.\n\nAqui temos n=8 e p=0{,}20. Precisamos somar P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

Passo 3

Cálculo de P(X=0).\n\nUsando a fórmula com k=0:\n P(X=0)=\binom{8}{0}\,0{,}20^{0}\,0{,}80^{8}.\n\nAvaliação dos termos:\n \binom{8}{0}=1,\qquad 0{,}20^{0}=1.\n\nCalculando 0{,}80^{8}. Podemos fazer por sucessivas potências: 0{,}80^{2}=0{,}64, 0{,}80^{4}=0{,}64^{2}=0{,}4096, 0{,}80^{8}=0{,}4096^{2}=0{,}16777216.\n\nLogo\n P(X=0)=1\cdot 1\cdot 0{,}16777216=0{,}16777216.

Passo 4

Cálculo de P(X=1).\n\nUsando a fórmula com k=1:\n P(X=1)=\binom{8}{1}\,0{,}20^{1}\,0{,}80^{7}.\n\nAvaliação dos termos:\n \binom{8}{1}=8,\qquad 0{,}20^{1}=0{,}20.\n\nPara 0{,}80^{7} podemos usar 0{,}80^{7}=\dfrac{0{,}80^{8}}{0{,}80}=\dfrac{0{,}16777216}{0{,}80}=0{,}2097152.\n\nAgora multiplicamos:\n P(X=1)=8\cdot 0{,}20\cdot 0{,}2097152.\n\nPrimeiro 8\cdot 0{,}20=1{,}6. Então\n P(X=1)=1{,}6\cdot 0{,}2097152=0{,}33554432.

Passo 5

Cálculo de P(X=2).\n\nUsando a fórmula com k=2:\n P(X=2)=\binom{8}{2}\,0{,}20^{2}\,0{,}80^{6}.\n\nAvaliação dos termos:\n \binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28,\qquad 0{,}20^{2}=0{,}04.\n\nPara 0{,}80^{6} podemos usar 0{,}80^{6}=\dfrac{0{,}80^{8}}{0{,}80^{2}}=\dfrac{0{,}16777216}{0{,}64}=0{,}262144.\n\nAgora multiplicamos:\n P(X=2)=28\cdot 0{,}04\cdot 0{,}262144.\n\nPrimeiro 28\cdot 0{,}04=1{,}12. Então\n P(X=2)=1{,}12\cdot 0{,}262144=0{,}29360128.

Passo 6

Somando as probabilidades para obter P(X\le 2).\n\nTemos os valores:\n P(X=0)=0{,}16777216,\n P(X=1)=0{,}33554432,\n P(X=2)=0{,}29360128.\n\nSomando:\n P(X\le 2)=0{,}16777216+0{,}33554432+0{,}29360128=0{,}79691776.\n\nArredondando para quatro casas decimais fica aproximadamente 0{,}7969, ou cerca de 79{,}69\%.

Passo 7

Dica rápida para a prova (curto e prático):\n\n- Identifique n e p e use a soma das probabilidades binomiais de k=0 até k=2.\n- Se precisar fazer sem calculadora, calcule potências de 0{,}8 por quadrados sucessivos como mostrei, e use combinações simples como \binom{8}{2}=28.\n\nVai dar certo — respira e confia no passo a passo que aprendeu aqui!

Resposta

\;0{,}79691776

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