O artigo “Can We Really Walk Straight?” (American Journal of Physical Anthropology, 1992, p. 19-27) relatou um experimento em que cada um de 14 homens saudáveis foi solicitado a caminhar da forma mais reta possível até um alvo a 60 m de distância com velocidade normal. Considere as observações a seguir sobre a cadência (número de passos por segundo). Portanto, pede-se: (a) Construa um box-plot (b) Qual o formato da distribuição? (c) Localize a concentração dos valores no conjunto de dados. (d) Há valores extremos neste conjunto de dados?
0,95 0,92 0,85 0,81 0,78 0,93 0,93 1,05 0,93 1,06 1,06 0,96 0,81 0,96

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a série de observações da cadência (número de passos por segundo) de 14 homens: (a) construir um box-plot, (b) dizer o formato da distribuição, (c) localizar a concentração dos valores e (d) identificar se há valores extremos.
Os dados fornecidos (em passos por segundo) são:
0,95,\;0,92,\;0,85,\;0,81,\;0,78,\;0,93,\;0,93,\;1,05,\;0,93,\;1,06,\;1,06,\;0,96,\;0,81,\;0,96
Nada mais foi pedido além dessas quatro perguntas.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados em ordem crescente (é essencial para calcular mediana e quartis). Ordenando os valores dados, obtemos:
0,78,\;0,81,\;0,81,\;0,85,\;0,92,\;0,93,\;0,93,\;0,93,\;0,95,\;0,96,\;0,96,\;1,05,\;1,06,\;1,06
Confirmei que há 14 observações (índices 1 a 14).

Passo 3

Vamos achar a mediana ( Q_2). Regra prática: para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais. Aqui n=14, os dois valores centrais são as posições 7 e 8 na lista ordenada. Esses valores são ambos 0,93. Portanto
Q_2=\text{mediana}=\frac{0,93+0,93}{2}=0,93.
Explicação rápida do conceito: a mediana divide os dados em duas metades com o mesmo número de observações à esquerda e à direita.

Passo 4

Para calcular Q_1 e Q_3 usamos as metades dos dados:
  • metade inferior = primeiras 7 observações: 0,78,\;0,81,\;0,81,\;0,85,\;0,92,\;0,93,\;0,93.
  • metade superior = últimas 7 observações: 0,93,\;0,95,\;0,96,\;0,96,\;1,05,\;1,06,\;1,06.
Em cada metade, o quartil é a mediana dessa metade (pois cada metade tem 7 observações ímpares, o quartil é o 4.º elemento da metade):
  • Na metade inferior, o 4.º elemento é 0,85. Logo
Q_1=0,85.
  • Na metade superior, o 4.º elemento é 0,96. Logo
Q_3=0,96.

Passo 5

Agora o resumo de cinco números (muito útil para o box-plot):
\text{mínimo} = 0,78,\quad Q_1=0,85,\quad Q_2=0,93,\quad Q_3=0,96,\quad \text{máximo}=1,06.íá
O intervalo interquartílico (IQR) é
\text{IQR}=Q_3-Q_1=0,96-0,85=0,11.

Passo 6

Regra usual para detectar outliers com box-plot: calcular as “cercas” (fences)
\text{lower fence}=Q_1-1,5\cdot\text{IQR}=0,85-1,5\cdot0,11=0,85-0,165=0,685,
\text{upper fence}=Q_3+1,5\cdot\text{IQR}=0,96+1,5\cdot0,11=0,96+0,165=1,125.
Qualquer observação menor que 0,685 ou maior que 1,125 seria considerada outlier. Aqui o mínimo é 0,78 e o máximo é 1,06, ambos dentro das cercas. Portanto não há outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}.

Passo 7

Como construir o box-plot (descrição que permite desenhar):
  • Desenhe uma caixa (box) que vai de Q_1=0,85 até Q_3=0,96.
  • Trace uma linha dentro da caixa na mediana Q_2=0,93.
  • Os “bigodes” (whiskers) vão do limite da caixa até o menor e o maior valor não-outlier, ou seja, até o mínimo 0,78 e o máximo 1,06.
  • Não marque pontos fora dos whiskers porque não há outliers.
    Esses são os valores exatos que você colocaria no eixo horizontal para o box-plot.

Passo 8

Formato da distribuição (interpretação):
  • A mediana 0,93 está relativamente próxima da média (podemos calcular a média rápida para comparar): a soma dos dados ordenados deu 13,00, logo a média é
\bar{x}=\frac{13,00}{14}\approx0,9286\approx0,93.
Como média e mediana são quase iguais, isso indica que a distribuição é aproximadamente simétrica. Observando as distâncias:
  • Q_2-Q_1=0,93-0,85=0,08,
  • Q_3-Q_2=0,96-0,93=0,03,
  • Q_2-\text{mín}=0,93-0,78=0,15í,
  • \text{máx}-Q_2=1,06-0,93=0,13á.
    Essas diferenças são pequenas; se quisermos classificar, diria que a distribuição é quase simétrica com uma muito ligeira assimetria (pequena tendência a uma leve cauda à esquerda ou direita dependendo do aspecto que se enfatize), mas, na prática, ela é essencialmente simétrica para fins de resumo descritivo.

Passo 9

Concentração dos valores:
  • O IQR [Q_1,Q_3] é [0,85,\,0,96]. Metade dos dados (7 de 14) está dentro de [0,92,\,0,96] — especificamente os valores 0,92,\;0,93,\;0,93,\;0,93,\;0,95,\;0,96,\;0,96 — ou seja, há forte concentração em torno de 0,93 a 0,96.
  • O valor mais frequente (modo) aparente é 0,93, que aparece 3 vezes.
    Portanto os dados concentram-se principalmente entre \,0,92 e \,0,96, com centro em torno de \,0,93.

Passo 10

Valores extremos:
  • Pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR} não há valores extremos (outliers), pois todos os pontos caem entre 0,685 e 1,125.
  • Logo, não há marcação de pontos isolados no box-plot.

Resposta

(a) Box-plot: caixa de Q_1=0,85 até Q_3=0,96, mediana em 0,93; whiskers do mínimo 0,78 até o máximo 1,06. (b) Formato: aproximadamente simétrica (muito ligeira assimetria marginal, mas essencialmente simétrica). (c) Concentração: principalmente entre 0,92 e 0,96, com centro em torno de 0,93 (modo 0,93). (d) Valores extremos: não, não há outliers pelo critério 1{,}5\cdot\text{IQR}.

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