Leonor faz 680 pontos na parte matemática do exame SAT. A distribuição dos escores SAT em uma população de regerência é normal, com média 500 e desvio-padrão 100. Geraldo faz o teste de matemática ACT, obtendo 27. Os escores ACT têm distribuição normal, com média 18 e desvio padrão 6. (a) Determine os escores z de ambos os estudantes; (b) Admitindo que ambos os testes meçam o mesmo tipo de capacidade, quem tem maior escore?

Resposta \rightarrow \mathbf{1 , 8} e 1,5

Passo 1

O enunciado dá dois resultados de testes e pede duas coisas: (a) calcular os escores z de cada estudante; (b) comparar os escores padronizados para ver quem se saiu melhor relativamente à sua população de referência. Dados relevantes:
  • Leonor: escore SAT x_L = 680; média da população \mu_{SAT} = 500; desvio-padrão \sigma_{SAT} = 100.
  • Geraldo: escore ACT x_G = 27; média da população \mu_{ACT} = 18; desvio-padrão \sigma_{ACT} = 6.
    Essas são todas as informações que precisamos.

Passo 2

O que é um escore z e por que usar?
  • O escore z mede quantos desvios-padrão um valor x está acima (ou abaixo) da média da sua distribuição. É uma forma de padronizar escores em distribuições diferentes para que possamos comparar resultados.
  • A fórmula do escore z é
z=\frac{x-\mu}{\sigma}
onde:
  • x é o escore observado (ex.: 680 ou 27),
  • \mu é a média da população (ex.: 500 ou 18),
  • \sigma é o desvio-padrão da população (ex.: 100 ou 6).
    Interpretação rápida: se z=1, o escore está uma vez o desvio-padrão acima da média; se z=-2, está duas vezes o desvio-padrão abaixo da média.

Passo 3

Calcular o escore z de Leonor (SAT). Substituímos na fórmula com x_L=680, \mu_{SAT}=500, \sigma_{SAT}=100:
z_L=\frac{680-500}{100}
Agora fazemos as contas passo a passo: 680-500=180. Então
z_L=\frac{180}{100}=1,8.
Conclusão: Leonor está 1,8 desvios-padrão acima da média do SAT.

Passo 4

Calcular o escore z de Geraldo (ACT). Substituímos com x_G=27, \mu_{ACT}=18, \sigma_{ACT}=6:
z_G=\frac{27-18}{6}
Calculando: 27-18=9. Então
z_G=\frac{9}{6}=1,5.
Conclusão: Geraldo está 1,5 desvios-padrão acima da média do ACT.

Passo 5

Interpretar e comparar os resultados. Temos z_L=1,8 e z_G=1,5. Como o escore z é a medida padronizada (mesma unidade: desvios-padrão), basta comparar os números: 1,8>1,5. Portanto, Leonor teve desempenho relativo maior em relação à sua população de referência do que Geraldo em relação à dele. Em termos intuitivos: Leonor está 0,3 desvios-padrão a mais acima da média que Geraldo.

Resposta

Leonor: 1,8; Geraldo: 1,5
Leonor tem o maior escore padronizado.

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