A tabela abaixo apresenta medidas de comprimento do fêmur e úmero de fósseis de um animal extinto (apenas cinco fósseis foram descobertos até hoje) medidos em centímetros.
Fóssil 1 Fóssil 2 Fóssil 3 Fóssil 4 Fóssil 5 Média Desvio-padrão
Fêmur (cm) 38 56 59 64 74 58 , 2 13 , 198
Úmero (cm) 41 63 70 72 84 66 15 , 89
(a) Calcule a correlação entre o comprimento do fêmur e o comprimento do úmero para este animal.
(b) Um cientista maluco resolveu mudar as unidades do comprimento dos ossos dos fósseis de centímetros para metros para o úmero e milímetros para o fêmur. Qual é o valor da correlação entre o comprimento do fêmur e do úmero usando estas novas unidades? Explique. (Dica: Não é preciso refazer os cálculos. Observe como mudariam os elementos que compõem a definição de correlação).

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
  1. (a) Calcular a correlação entre o comprimento do fêmur e o comprimento do úmero para os cinco fósseis.
  2. (b) Se mudarmos unidades (fêmur: centímetros → milímetros; úmero: centímetros → metros), qual é o valor da correlação e por quê?
Dados fornecidos (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Comprimentos do fêmur (em cm): (38,\;56,\;59,\;64,\;74). Média informada: \bar{x}=58,2. Desvio-padrão informado: s_x=13,198.
  • Comprimentos do úmero (em cm): (41,\;63,\;70,\;72,\;84). Média informada: \bar{y}=66. Desvio-padrão informado: s_y=15,89.
Observação: há exatamente n=5 observações (cinco fósseis). A correlação que vamos calcular é a correlação de Pearson clássica entre as duas variáveis (fêmur e úmero).

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • A correlação de Pearson mede a associação linear entre duas variáveis. Uma maneira direta de calculá-la é padronizando as variáveis e calculando a média do produto das padronizações, mas a forma operacional que usaremos é a fórmula com somas de desvios:
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}\;\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}}}.
  • Nesta fórmula:
    • x_i é a medida do fêmur do fóssil i.
    • y_i é a medida do úmero do fóssil i.
    • \bar{x} e \bar{y} são as médias amostrais das respectivas variáveis.
    • O numerador \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) mede a soma dos produtos dos desvios (é proporcional à covariância amostral).
    • Os termos \sum (x_i-\bar{x})^{2} e \sum (y_i-\bar{y})^{2} são as somas dos quadrados dos desvios (relacionadas aos desvios-padrão).
  • Importante: se preferirmos, podemos expressar r como \dfrac{\text{cov}_{\text{amostra}}(X,Y)}{s_X s_Y}, onde \text{cov}_{\text{amostra}}(X,Y)=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1} e s_X=\sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^{2}}{n-1}} etc. Mas, convenientemente, o fator 1/(n-1) cancela entre numerador e denominador, então podemos usar diretamente as somas sem dividir por n-1.

Passo 3

Calcular os desvios (x_i-\bar{x}) para o fêmur (peguei \bar{x}=58,2 da tabela):
  • Para fóssil 1: 38-\bar{x}=38-58,2=-20,2.
  • Para fóssil 2: 56-58,2=-2,2.
  • Para fóssil 3: 59-58,2=0,8.
  • Para fóssil 4: 64-58,2=5,8.
  • Para fóssil 5: 74-58,2=15,8.
Verificação rápida: a soma dos desvios deve ser zero:
-20,2 + (-2,2) + 0,8 + 5,8 + 15,8 = 0.
Tudo certo.

Passo 4

Calcular os desvios (y_i-\bar{y}) para o úmero (peguei \bar{y}=66 da tabela):
  • Para fóssil 1: 41-66=-25.
  • Para fóssil 2: 63-66=-3.
  • Para fóssil 3: 70-66=4.
  • Para fóssil 4: 72-66=6.
  • Para fóssil 5: 84-66=18.
Verificação: soma dos desvios:
-25 + (-3) + 4 + 6 + 18 = 0.

Passo 5

Calcular os produtos dos desvios (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e somá-los (este é o numerador da fórmula):
  • Fóssil 1: (-20,2)\cdot(-25)=505,0.
  • Fóssil 2: (-2,2)\cdot(-3)=6,6.
  • Fóssil 3: 0,8\cdot4=3,2.
  • Fóssil 4: 5,8\cdot6=34,8.
  • Fóssil 5: 15,8\cdot18=284,4.
Somando:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=505,0+6,6+3,2+34,8+284,4=834,0.

Passo 6

Calcular as somas dos quadrados dos desvios (componentes do denominador):
Para o fêmur:
  • (-20,2)^{2}=408,04.
  • (-2,2)^{2}=4,84.
  • 0,8^{2}=0,64.
  • 5,8^{2}=33,64.
  • 15,8^{2}=249,64.
Somando:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^{2}=408,04+4,84+0,64+33,64+249,64=696,8.
Para o úmero:
  • (-25)^{2}=625.
  • (-3)^{2}=9.
  • 4^{2}=16.
  • 6^{2}=36.
  • 18^{2}=324.
Somando:
\sum_{i=1}^{5}(y_i-\bar{y})^{2}=625+9+16+36+324=1010.
Como verificação, podemos checar os desvios-padrão amostrais:
s_x=\sqrt{\dfrac{696,8}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{696,8}{4}}=\sqrt{174,2}\approx13,198,
o que bate com s_x informado na tabela.
s_y=\sqrt{\dfrac{1010}{4}}=\sqrt{252,5}\approx15,89,
também bate com s_y informado.

Passo 7

Calcular a correlação usando a fórmula:
r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^{2}\;\sum (y_i-\bar{y})^{2}}} =\frac{834,0}{\sqrt{696,8\cdot1010}}.
Calculemos o denominador:
696,8\cdot1010=703768,
\sqrt{703768}\approx838,615\quad(\text{aproximando}).
Portanto
r\approx\frac{834,0}{838,615}\approx0,9945.
Interpretação curta: isto indica uma correlação linear positiva muito forte entre os comprimentos do fêmur e do úmero nos cinco fósseis.

Passo 8

Responder (b) — por que a correlação não muda quando mudamos unidades:
  • Mudança proposta:
    • Fêmur: centímetros \to milímetros. Isso é multiplicar todas as medidas de fêmur por a=10: x'_i=10x_i.
    • Úmero: centímetros \to metros. Isso é multiplicar todas as medidas de úmero por b=\tfrac{1}{100}: y'_i=\tfrac{1}{100}y_i.
  • Prova algébrica curta mostrando a invariância:
\sum_{i}(x'_i-\bar{x}') (y'_i-\bar{y}')=\sum_{i}(a(x_i-\bar{x}))(b(y_i-\bar{y}))=ab\sum_{i}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).
\sum_{i}(x'_i-\bar{x}')^{2}=a^{2}\sum_{i}(x_i-\bar{x})^{2},\qquad \sum_{i}(y'_i-\bar{y}')^{2}=b^{2}\sum_{i}(y_i-\bar{y})^{2}.
Logo,
r'=\frac{ab\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{a^{2}b^{2}\sum (x_i-\bar{x})^{2}\sum (y_i-\bar{y})^{2}}} =\frac{ab}{|ab|}\cdot r.
  • Como aqui a=10>0 e b=\tfrac{1}{100}>0, temos \dfrac{ab}{|ab|}=1, portanto r'=r.
  • Conclusão: a correlação numérica não muda pela troca de unidades positiva; permanece a mesma. Então o valor da correlação com as novas unidades é o mesmo calculado no item (a): aproximadamente 0,9945.

Passo 9

Recapitulando de forma motivadora: fizemos passo a passo — calculamos desvios, produtos, somas de quadrados, o numerador e o denominador — e vimos que a correlação é muito alta e que é invariante por mudança de unidades positivas. Está indo bem — isso é exatamente o tipo de conta que aparece na prova e que se resolve seguindo esse roteiro.

Resposta

(a) r\approx0,9945
(b) r\approx0,9945 (permanece igual porque a correlação de Pearson é invariante por multiplicação das variáveis por constantes positivas)

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