A tabela abaixo apresenta medidas de comprimento do fêmur e úmero de fósseis de um animal extinto (apenas cinco fósseis foram descobertos até hoje) medidos em centímetros.
| Fóssil 1 | Fóssil 2 | Fóssil 3 | Fóssil 4 | Fóssil 5 | Média | Desvio-padrão | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fêmur (cm) | 38 | 56 | 59 | 64 | 74 | 58 , 2 | 13 , 198 |
| Úmero (cm) | 41 | 63 | 70 | 72 | 84 | 66 | 15 , 89 |
(a) Calcule a correlação entre o comprimento do fêmur e o comprimento do úmero para este animal.
(b) Um cientista maluco resolveu mudar as unidades do comprimento dos ossos dos fósseis de centímetros para metros para o úmero e milímetros para o fêmur. Qual é o valor da correlação entre o comprimento do fêmur e do úmero usando estas novas unidades? Explique. (Dica: Não é preciso refazer os cálculos. Observe como mudariam os elementos que compõem a definição de correlação).
(b) Um cientista maluco resolveu mudar as unidades do comprimento dos ossos dos fósseis de centímetros para metros para o úmero e milímetros para o fêmur. Qual é o valor da correlação entre o comprimento do fêmur e do úmero usando estas novas unidades? Explique. (Dica: Não é preciso refazer os cálculos. Observe como mudariam os elementos que compõem a definição de correlação).
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas:
- (a) Calcular a correlação entre o comprimento do fêmur e o comprimento do úmero para os cinco fósseis.
- (b) Se mudarmos unidades (fêmur: centímetros → milímetros; úmero: centímetros → metros), qual é o valor da correlação e por quê?
Dados fornecidos (peguei todos os números da tabela do enunciado):
- Comprimentos do fêmur (em cm):
. Média informada: . Desvio-padrão informado: . - Comprimentos do úmero (em cm):
. Média informada: . Desvio-padrão informado: .
Observação: há exatamente
observações (cinco fósseis). A correlação que vamos calcular é a correlação de Pearson clássica entre as duas variáveis (fêmur e úmero).
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
- A correlação de Pearson mede a associação linear entre duas variáveis. Uma maneira direta de calculá-la é padronizando as variáveis e calculando a média do produto das padronizações, mas a forma operacional que usaremos é a fórmula com somas de desvios:
- Nesta fórmula:
-
é a medida do fêmur do fóssil . -
é a medida do úmero do fóssil . -
e são as médias amostrais das respectivas variáveis. - O numerador
mede a soma dos produtos dos desvios (é proporcional à covariância amostral). - Os termos
e são as somas dos quadrados dos desvios (relacionadas aos desvios-padrão).
-
- Importante: se preferirmos, podemos expressar
como , onde e etc. Mas, convenientemente, o fator cancela entre numerador e denominador, então podemos usar diretamente as somas sem dividir por .
Passo 3
Calcular os desvios
para o fêmur (peguei
da tabela):
- Para fóssil 1:
. - Para fóssil 2:
. - Para fóssil 3:
. - Para fóssil 4:
. - Para fóssil 5:
.
Verificação rápida: a soma dos desvios deve ser zero:
Tudo certo.
Passo 4
Calcular os desvios
para o úmero (peguei
da tabela):
- Para fóssil 1:
. - Para fóssil 2:
. - Para fóssil 3:
. - Para fóssil 4:
. - Para fóssil 5:
.
Verificação: soma dos desvios:
Passo 5
Calcular os produtos dos desvios
e somá-los (este é o numerador da fórmula):
- Fóssil 1:
. - Fóssil 2:
. - Fóssil 3:
. - Fóssil 4:
. - Fóssil 5:
.
Somando:
Passo 6
Calcular as somas dos quadrados dos desvios (componentes do denominador):
Para o fêmur:
-
. -
. -
. -
. -
.
Somando:
Para o úmero:
-
. -
. -
. -
. -
.
Somando:
Como verificação, podemos checar os desvios-padrão amostrais:
o que bate com
informado na tabela.
também bate com
informado.
Passo 7
Calcular a correlação usando a fórmula:
Calculemos o denominador:
Portanto
Interpretação curta: isto indica uma correlação linear positiva muito forte entre os comprimentos do fêmur e do úmero nos cinco fósseis.
Passo 8
Responder (b) — por que a correlação não muda quando mudamos unidades:
- Mudança proposta:
- Fêmur: centímetros
milímetros. Isso é multiplicar todas as medidas de fêmur por : . - Úmero: centímetros
metros. Isso é multiplicar todas as medidas de úmero por : .
- Fêmur: centímetros
- Prova algébrica curta mostrando a invariância:
Logo,
- Como aqui
e , temos , portanto . - Conclusão: a correlação numérica não muda pela troca de unidades positiva; permanece a mesma. Então o valor da correlação com as novas unidades é o mesmo calculado no item (a): aproximadamente
.
Passo 9
Recapitulando de forma motivadora: fizemos passo a passo — calculamos desvios, produtos, somas de quadrados, o numerador e o denominador — e vimos que a correlação é muito alta e que é invariante por mudança de unidades positivas. Está indo bem — isso é exatamente o tipo de conta que aparece na prova e que se resolve seguindo esse roteiro.
Resposta
(a)
(b)
(permanece igual porque a correlação de Pearson é invariante por multiplicação das variáveis por constantes positivas)