Um artigo descreve um estudo investigando a relação exposição ao barulho - nível de pressão sonora -e hipertensão (aumento da pressão sanguínea ). Os seguintes dados:
Hipertensão 5 4 6 8 4 5 7 9 7 6
Exposição ao barulho 85 89 90 90 90 90 94 100 100 100
a) (1,0 pontos) Encontre o valor médio do aumento da pressão sanguínea, dado que o nível de pressão sonora é ;
b) (1,0 pontos) Encontre o e INTERPRETE O RESULTADO!;
c) pontos Teste use e INTERPRETE O RESULTADO!
d) (1.0 pontos) Quais são os pré-requisitos para o uso do teste acima?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=10 com a variável explicativa X = nível de pressão sonora (em dB) e a variável resposta Y = aumento da pressão sanguínea (unidades arbitrárias). O que se pede:
a) estimar o valor médio de Y para X=7,50;
b) calcular o coeficiente de determinação R^2 e interpretá-lo;
c) testar H0!: b1=0 em alpha=0,05;
d) listar os pré-requisitos do teste.

Passo 2

Calcular as médias amostrais bar X e bar Y:
bar X = sumi=1^10Xi10 = 92810 = 92,8
bar Y = sumi=1^10Yi10 = 6110 = 6,1

Passo 3

Calcular as somas de quadrados e de produtos:
Sxx = sumi=1^10(Xi - bar X)^2 = 263,6,
Sxy = sumi=1^10(Xi - bar X)(Yi - bar Y) = 48,2
Assim a estimativa dos coeficientes da reta hat Y = b0 + b1 X é
b1 = SxySxx = 48,2263,6 approx 0,183,
b0 = bar Y - b1,bar X = 6,1 - 0,183cdot 92,8 approx -10,87

Passo 4

a) Para X=7,50 a previsão é
hat Y(7,50) = b0 + b1,(7,50) = -10,87 + 0,183 times 7,50 approx -9,50

Passo 5

Calcular R^2. Primeiro
Syy = sumi=1^10(Yi - bar Y)^2 = 24,90,
SSR = b1,Sxy approx 0,183 times 48,2 = 8,82,
SSE = Syy - SSR = 24,90 - 8,82 = 16,08
Logo
R^2 = SSRSyy = 8,8224,90 approx 0,35
Interpretação: cerca de 35 % da variação em Y é explicada pela variação em X.

Passo 6

c) Teste H0!: b1=0 vs.\ H1!: b1neq0.
MSE = SSEn-2 = 16,088 = 2,01,
SE(b1) = raizMSESxx = raiz2,01263,6 approx 0,0874,
trm calc = b1SE(b1) = 0,1830,0874 approx 2,09
Com df=8 e alpha/2=0,025, t0,975;8=2,306. Como 2,09<2,306, não rejeitamos H0. Conclusão: não há evidência significativa de relação linear ao nível de 5 %.

Passo 7

d) Os pré-requisitos para esse teste são:
  1. Relação linear entre X e Y.
  2. Independência dos erros.
  3. Normalidade dos erros com média zero.
  4. Homocedasticidade (variância constante dos erros).
  5. X medido sem erro (ou com erro desprezível).

Resposta

(a) hat Y(7,50)approx -9,50.
(b) R^2approx0,35, ou seja, 35 % da variação de Y é explicada por X.
(c) trm calc=2,09<t0,975;8=2,306, logo não rejeita-se H0: sem relação significativa.
(d) linearidade, independência, normalidade e homocedasticidade dos erros, e X sem erro.

Exercícios relacionados