1. Um produtor de sementes vende pacotes com 6 sementes cada. Os pacotes que apresentarem pelo menos 4 sementes sem germinar serão indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é 0,6 .
    a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
    b) Se o produtor vender 1000 pacotes, qual é o número esperado de pacotes indenizados?
    c) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de 30 centavos e se o pacote não for indenizado, ele tem um lucro de 70 centavos. Qual o lucro líquido médio por pacote?
    d) Se o produtor vende 1000 pacotes, calcule a probabilidade de no máximo 200 serem indenizados? Dica: Utilize a aproximação da distribuição Binomial pela Normal.

Passo 1

O enunciado diz que cada pacote tem 6 sementes e que cada semente germina com probabilidade 0,6. O pacote é indenizado se pelo menos 4 sementes não germinarem. Vamos chamar de X o número de sementes que não germinam em um pacote. Então
X sim Binl(n=6,;q=1-0,6=0,4r)
Usaremos essa distribuição para (a), (b) e (c). Para (d) vamos aproximar a binomial por uma normal.

Passo 2

Queremos
P(o pacote é indenizado) ;=; P(X>=4) ;=;sumk=4^6binom6k(0,4)^k(0,6)^6-k é
Calculando termo a termo:
binom64(0,4)^4(0,6)^2=15cdot0,4^4cdot0,6^2=0,13824,
binom65(0,4)^5(0,6)^1=6cdot0,4^5cdot0,6=0,036864,
binom66(0,4)^6=1cdot0,4^6=0,004096
Somando,
P(X>=4)=0,13824+0,036864+0,004096=0,1792

Passo 3

Se o produtor vende 1000 pacotes, o número esperado de indenizados é
E[nº indenizados] = 1000cdot P(X>=4) = 1000cdot0,1792 = 179,2 º

Passo 4

O lucro líquido por pacote é
L = -0,30, & se indenizado, +0,70, & se não indenizado ã
O lucro médio é
E[L] = 0,1792cdot(-0,30) ; + ; (1-0,1792)cdot0,70 = -0,05376 + 0,57456 = 0,5208
Ou seja, em média o produtor ganha R$ 0,5208 por pacote.

Passo 5

Agora seja Y o nº de pacotes indenizados em 1000. Temos
YsimBin(1000,,p=0,1792),
com
mu=1000cdot0,1792=179,2, sigma=raiz1000cdot0,1792cdot0,8208approx12,129
Queremos
P(Y<=200)approx P!l(Z<=200,5-179,212,129r) =P!l(Z<=1,756r)approx0,96,
usando correção de continuidade e tabela da normal padrão.

Resposta

a) 0,1792
b) 179,2 pacotes
c) R$ 0,5208 por pacote
d) P(<= 200) = 0,96 (aprox.)

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