Um artigo reportou os resultados de uma análise do peso de cálcio em cimento padrão e em cimento contendo chumbo. Níveis reduzidos de cálcio indicaram que o mecanismo de hidratação do cimento foi bloqueado, permitindo à água atacar várias localizações na estrutura de cimento. Dez amostras de cimento padrão tiveram um teor médio percentual em peso de cálcio de \bar{x}_{1}=90,0 \mathrm{com} \mathrm{um} desvio padrão da amostra de s_{1}=5,0, enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor médio percentual em peso de cálcio de \bar{x}_{2}=87,0 com um desvio padrão da amostra de s_{2}=4,0. Considere que o teor percentual em peso de cálcio seja normalmente distribuído e que ambas as populações tenham o mesmo desvio padrão. Encontre o intervalo de confiança de 95% para as diferenças de médias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados das amostras:
    • Tamanho da primeira amostra: n_{1}=10.
    • Média da primeira amostra: \bar{x}_{1}=90{,}0.
    • Desvio padrão da primeira amostra: s_{1}=5{,}0.
    • Tamanho da segunda amostra: n_{2}=15.
    • Média da segunda amostra: \bar{x}_{2}=87{,}0.
    • Desvio padrão da segunda amostra: s_{2}=4{,}0.
  • Suposições (dadas no enunciado):
    • As duas populações são normalmente distribuídas.
    • As duas populações têm o mesmo desvio padrão (ou seja, variâncias iguais).
  • O que é pedido:
    • Encontrar o intervalo de confiança de 95\% para a diferença de médias \mu_{1}-\mu_{2}.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (sem jargões difíceis):
Quando assumimos variâncias iguais, usa-se a estimativa combinada (pooled) do desvio padrão populacional, chamada s_{p}. O intervalo de confiança para \mu_{1}-\mu_{2} é dado por
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm t_{\alpha/2,\nu}\, s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}},
onde:
  • \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é a diferença observada das médias amostrais;
  • s_{p} é o desvio padrão “pooled” (estimador combinado das duas amostras);
  • t_{\alpha/2,\nu} é o quantil da distribuição t de Student para nível de significância \alpha (para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05, então \alpha/2=0{,}025);
  • \nu=n_{1}+n_{2}-2 são os graus de liberdade.
Vou explicar como calcular cada peça e por que: s_{p} combina a informação das duas amostras ponderando pelos seus graus de liberdade; o fator \sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}} transforma o desvio padrão combinado numa estimativa do erro padrão da diferença entre médias; e a constante t ajusta o comprimento do intervalo quando a variância é estimada (e não conhecida).

Passo 3

Calcular o desvio padrão pooled s_{p}. A fórmula é
s_{p}=\sqrt{\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}.
Substituindo os valores dados:
(n_{1}-1)s_{1}^{2}= (10-1)\cdot(5{,}0)^{2}=9\cdot25=225,
(n_{2}-1)s_{2}^{2}= (15-1)\cdot(4{,}0)^{2}=14\cdot16=224,
\text{somatório} = 225+224=449,ó
\nu = n_{1}+n_{2}-2 = 10+15-2=23.
Portanto
s_{p}=\sqrt{\frac{449}{23}}.

Passo 4

Aproximação numérica de s_{p}. Calculemos
\frac{449}{23}=19{,}521739\ldots
e então
s_{p}=\sqrt{19{,}521739\ldots}\approx 4{,}420.
(Arredondei s_{p} para três casas decimais; matematicamente é \sqrt{449/23}.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da diferença das médias:
\text{SE} = s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}.
Substituindo:
\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}=\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=0{,}1+0{,}0666667=0{,}1666667=\frac{1}{6}.
Logo
\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}=\sqrt{\frac{1}{6}}\approx 0{,}408248.
Multiplicando por s_{p}:
\text{SE}\approx 4{,}420\times 0{,}408248\approx 1{,}804.

Passo 6

Determinar o quantil t_{\alpha/2,\nu} para 95\% de confiança com \nu=23 graus de liberdade. Para \alpha/2=0{,}025 e \nu=23 tem-se
t_{0{,}025,\,23}\approx 2{,}069.
(Isto sai de tabelas da t-de-Student; em prova memorizam-se valores comuns ou consultam a tabela.)

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo:
\text{margem} = t_{0{,}025,23}\times \text{SE}\approx 2{,}069\times 1{,}804\approx 3{,}731.
A diferença observada das médias é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=90{,}0-87{,}0=3{,}0.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
3{,}0 \pm 3{,}731,
ou seja
3{,}0-3{,}731 \le \mu_{1}-\mu_{2} \le 3{,}0+3{,}731.
Numericamente:
-0{,}731 \le \mu_{1}-\mu_{2} \le 6{,}731.

Passo 8

Interpretação curta e dica de prova:
  • O intervalo contém zero (porque o limite inferior é negativo), o que significa que, com 95\% de confiança, não se descarta a possibilidade de não haver diferença real nas médias de cálcio entre os dois tipos de cimento.
  • Dica prática para prova: calcule primeiro s_{p}^{2} como fração e só depois extraia a raiz; escreva passo a passo como aqui para evitar erros aritméticos.

Resposta

-0{,}731 \le \mu_{1}-\mu_{2} \le 6{,}731

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