Um artigo reportou os resultados de uma análise do peso de cálcio em cimento padrão e em cimento contendo chumbo. Níveis reduzidos de cálcio indicaram que o mecanismo de hidratação do cimento foi bloqueado, permitindo à água atacar várias localizações na estrutura de cimento. Dez amostras de cimento padrão tiveram um teor médio percentual em peso de cálcio de
desvio padrão da amostra de
, enquanto 15 amostras do cimento com chumbo tiveram um teor médio percentual em peso de cálcio de
com um desvio padrão da amostra de
. Considere que o teor percentual em peso de cálcio seja normalmente distribuído e que ambas as populações tenham o mesmo desvio padrão. Encontre o intervalo de confiança de 95% para as diferenças de médias.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados das amostras:
- Tamanho da primeira amostra:
. - Média da primeira amostra:
. - Desvio padrão da primeira amostra:
. - Tamanho da segunda amostra:
. - Média da segunda amostra:
. - Desvio padrão da segunda amostra:
.
- Tamanho da primeira amostra:
-
Suposições (dadas no enunciado):
- As duas populações são normalmente distribuídas.
- As duas populações têm o mesmo desvio padrão (ou seja, variâncias iguais).
-
O que é pedido:
- Encontrar o intervalo de confiança de
para a diferença de médias .
- Encontrar o intervalo de confiança de
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (sem jargões difíceis):
Quando assumimos variâncias iguais, usa-se a estimativa combinada (pooled) do desvio padrão populacional, chamada . O intervalo de confiança para
é dado por
Quando assumimos variâncias iguais, usa-se a estimativa combinada (pooled) do desvio padrão populacional, chamada
onde:
-
é a diferença observada das médias amostrais; -
é o desvio padrão “pooled” (estimador combinado das duas amostras); -
é o quantil da distribuição de Student para nível de significância (para de confiança, , então ); -
são os graus de liberdade.
Vou explicar como calcular cada peça e por que:
combina a informação das duas amostras ponderando pelos seus graus de liberdade; o fator
transforma o desvio padrão combinado numa estimativa do erro padrão da diferença entre médias; e a constante
ajusta o comprimento do intervalo quando a variância é estimada (e não conhecida).
Passo 3
Calcular o desvio padrão pooled
. A fórmula é
Substituindo os valores dados:
Portanto
Passo 4
Aproximação numérica de
. Calculemos
e então
(Arredondei
para três casas decimais; matematicamente é
.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da diferença das médias:
Substituindo:
Logo
Multiplicando por
:
Passo 6
Determinar o quantil
para
de confiança com
graus de liberdade. Para
e
tem-se
(Isto sai de tabelas da
-de-Student; em prova memorizam-se valores comuns ou consultam a tabela.)
Passo 7
Calcular a margem de erro e o intervalo:
A diferença observada das médias é
Portanto o intervalo de confiança de
é
ou seja
Numericamente:
Passo 8
Interpretação curta e dica de prova:
- O intervalo contém zero (porque o limite inferior é negativo), o que significa que, com
de confiança, não se descarta a possibilidade de não haver diferença real nas médias de cálcio entre os dois tipos de cimento. - Dica prática para prova: calcule primeiro
como fração e só depois extraia a raiz; escreva passo a passo como aqui para evitar erros aritméticos.