Exemplo 3 - Um engenheiro de qualidade quer comparar a proporção de peças defeituosas de dois fornecedores (A e B). Para tanto retira-se amostras dos dois fornecedores. Os resultados foram: fornecedor A: n_{A}=500 peças, das quais 45 eram defeituosas; fornecedor B: n_{b}=600 peças, das quais 72 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança para a diferença de proporções ao nível de 95 \% de confiança.

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de 95\% para a diferença das proporções de peças defeituosas entre dois fornecedores. Os dados fornecidos são:
  • Fornecedor A: n_{A}=500 peças amostradas, das quais x_{A}=45 eram defeituosas.
  • Fornecedor B: n_{B}=600 peças amostradas, das quais x_{B}=72 eram defeituosas.
Pergunta a responder:
  • Qual é o intervalo de confiança de 95\% para \,p_A-p_B, onde p_A e p_B são as proporções verdadeiras de peças defeituosas dos fornecedores A e B, respectivamente?

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicada de forma simples): para amostras grandes a diferença entre as proporções amostrais \hat p_A-\hat p_B tem distribuição aproximadamente normal centrada em p_A-p_B. Assim podemos usar a fórmula do intervalo de confiança baseado na aproximação normal (z-intervalo). Antes de aplicar, confirmamos que as amostras são suficientemente grandes verificando que x e n-x são maiores que 5 em cada amostra:
  • Para A: x_A=45>5 e n_A-x_A=500-45=455>5.
  • Para B: x_B=72>5 e n_B-x_B=600-72=528>5.
Como as condições estão atendidas, a aproximação normal é apropriada.

Passo 3

Definição e cálculo das proporções amostrais. A proporção amostral é \hat p = x/n. Então:
\hat p_A=\dfrac{x_A}{n_A}=\dfrac{45}{500}=0,09,
\hat p_B=\dfrac{x_B}{n_B}=\dfrac{72}{600}=0,12.
A diferença amostral é
\hat p_A-\hat p_B=0,09-0,12=-0,03.
(Isto significa que, na amostra, o fornecedor A teve 3 pontos percentuais a menos de defeituosos que o B.)

Passo 4

Fórmula do intervalo de confiança (explicada): para diferença de proporções, o intervalo de confiança de nível 1-\alpha é
(\hat p_A-\hat p_B)\pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat p_A(1-\hat p_A)}{n_A}+\dfrac{\hat p_B(1-\hat p_B)}{n_B}}.
O que cada símbolo significa:
  • \hat p_A,\hat p_B: proporções amostrais já calculadas;
  • n_A,n_B: tamanhos amostrais;
  • z_{1-\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95\%, z_{0,975});
  • a raiz quadrada é o erro padrão da diferença das proporções, que combina as variabilidades das duas amostras independentes.

Passo 5

Calcular o erro padrão passo a passo. Primeiro as variâncias amostrais componentes:
\hat p_A(1-\hat p_A)=0,09\cdot 0,91=0,0819,
\hat p_B(1-\hat p_B)=0,12\cdot 0,88=0,1056.
Dividindo pelos tamanhos amostrais:
\dfrac{\hat p_A(1-\hat p_A)}{n_A}=\dfrac{0,0819}{500}=0,0001638,
\dfrac{\hat p_B(1-\hat p_B)}{n_B}=\dfrac{0,1056}{600}=0,0001760.
Somando:
\text{Var}(\hat p_A-\hat p_B)\approx 0,0001638+0,0001760=0,0003398.
Erro padrão (raiz da soma):
\text{EP}=\sqrt{0,0003398}\approx 0,01843.

Passo 6

Escolher o valor crítico z para 95\% de confiança. O quantil da normal padrão para nível 95\% (duas caudas) é
z_{0,975}\approx 1,96.
Isto vem da tabela da normal padrão: P(-1,96<Z<1,96)\approx0,95.

Passo 7

Calcular a margem de erro e o intervalo. A margem de erro é
\text{ME}=z_{0,975}\cdot \text{EP}=1,96\cdot 0,01843\approx 0,03613.
Então o intervalo de confiança é
(\hat p_A-\hat p_B)\pm \text{ME} = -0,03 \pm 0,03613.
Calculando os extremos:
\text{limite inferior}=-0,03-0,03613\approx -0,06613,
\text{limite superior}=-0,03+0,03613\approx 0,00613.

Passo 8

Interpretação e dica prática para a prova: o intervalo aproximado de 95\% para p_A-p_B é \bigl(-0,0661,\;0,0061\bigr). Como o intervalo contém 0, não há evidência estatística suficiente (ao nível de 5\%) para afirmar que as proporções verdadeiras sejam diferentes; isto é, a diferença observada de -0,03 pode ser apenas variação amostral. Na prova, mostre os passos: cálculo de \hat p, verificação das condições, cálculo do erro padrão, uso de z_{0,975}=1,96, e apresentação do intervalo arredondado com número de casas razoável (duas a quatro casas decimais).

Resposta

\left[-0,0661,\;0,0061\right]

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