Exemplo 3 - Um engenheiro de qualidade quer comparar a proporção de peças defeituosas de dois fornecedores (A e B). Para tanto retira-se amostras dos dois fornecedores. Os resultados foram: fornecedor A:
peças, das quais 45 eram defeituosas; fornecedor B:
peças, das quais 72 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança para a diferença de proporções ao nível de
de confiança.
Passo 1
O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de
para a diferença das proporções de peças defeituosas entre dois fornecedores. Os dados fornecidos são:
- Fornecedor A:
peças amostradas, das quais eram defeituosas. - Fornecedor B:
peças amostradas, das quais eram defeituosas.
Pergunta a responder:
- Qual é o intervalo de confiança de
para , onde e são as proporções verdadeiras de peças defeituosas dos fornecedores A e B, respectivamente?
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicada de forma simples): para amostras grandes a diferença entre as proporções amostrais
tem distribuição aproximadamente normal centrada em
. Assim podemos usar a fórmula do intervalo de confiança baseado na aproximação normal (z-intervalo). Antes de aplicar, confirmamos que as amostras são suficientemente grandes verificando que
e
são maiores que 5 em cada amostra:
- Para A:
e . - Para B:
e .
Como as condições estão atendidas, a aproximação normal é apropriada.
Passo 3
Definição e cálculo das proporções amostrais. A proporção amostral é
. Então:
A diferença amostral é
(Isto significa que, na amostra, o fornecedor A teve
pontos percentuais a menos de defeituosos que o B.)
Passo 4
Fórmula do intervalo de confiança (explicada): para diferença de proporções, o intervalo de confiança de nível
é
O que cada símbolo significa:
-
: proporções amostrais já calculadas; -
: tamanhos amostrais; -
: quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para , ); - a raiz quadrada é o erro padrão da diferença das proporções, que combina as variabilidades das duas amostras independentes.
Passo 5
Calcular o erro padrão passo a passo. Primeiro as variâncias amostrais componentes:
Dividindo pelos tamanhos amostrais:
Somando:
Erro padrão (raiz da soma):
Passo 6
Escolher o valor crítico
para
de confiança. O quantil da normal padrão para nível
(duas caudas) é
Isto vem da tabela da normal padrão:
.
Passo 7
Calcular a margem de erro e o intervalo. A margem de erro é
Então o intervalo de confiança é
Calculando os extremos:
Passo 8
Interpretação e dica prática para a prova: o intervalo aproximado de
para
é
. Como o intervalo contém
, não há evidência estatística suficiente (ao nível de
) para afirmar que as proporções verdadeiras sejam diferentes; isto é, a diferença observada de
pode ser apenas variação amostral. Na prova, mostre os passos: cálculo de
, verificação das condições, cálculo do erro padrão, uso de
, e apresentação do intervalo arredondado com número de casas razoável (duas a quatro casas decimais).