Exemplo 2 - No preenchimento de embalagens em uma linha de produção de alimentos, um engenheiro de produção suspeita que a máquina 1 está entregando uma média de peso superior à máquina 2 , o que poderia gerar prejuízo por excesso de produto. Os resultados das amostras retiradas das duas máquinas foram: n_{1}= 12, \bar{x}_{1}=505 g, s_{1}=4, n_{2}=10, \bar{x}_{2}=498, s_{2}=5. Faça um intervalo de confiança com 95 \% de probabilidade e considere que \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são iguais.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado). Dados amostrais:
  • n_{1}=12, \bar{x}_{1}=505\\ \text{g}, s_{1}=4.
  • n_{2}=10, \bar{x}_{2}=498\\ \text{g}, s_{2}=5.
O enunciado pede um intervalo de confiança com 95\% de probabilidade para a diferença entre as médias das máquinas, assumindo que \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são iguais. Ou seja, queremos um intervalo de confiança para \mu_{1}-\mu_{2} com nível de confiança 95\%, usando a hipótese de variâncias iguais.

Passo 2

Explicando a ideia do método que vamos usar (passo didático): quando as variâncias populacionais são consideradas iguais, usamos a variância amostral combinada (variância “poolada”) para estimar a variabilidade comum e construímos um intervalo baseado na distribuição t de Student com graus de liberdade n_{1}+n_{2}-2.
A fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu_{1}-\mu_{2} é
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm t_{\alpha/2,\;n_{1}+n_{2}-2}\cdot s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}},
onde:
  • \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é a diferença das médias amostrais;
  • t_{\alpha/2,\;n_{1}+n_{2}-2} é o quantil da distribuição t com n_{1}+n_{2}-2 graus de liberdade (para \alpha=0,05, usamos \alpha/2=0,025);
  • s_{p} é o desvio-padrão poolado, estimado por
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa para você: s_{1}^{2} e s_{2}^{2} são as variâncias amostrais (já que s_{1} e s_{2} são desvios-padrão), n_{1} e n_{2} são tamanhos das amostras. O fator \sqrt{\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}} aparece porque a variância da diferença de médias amostrais é \sigma^{2}\left(\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}\right); substituímos \sigma^{2} por s_{p}^{2}.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo a variância poolada s_{p}^{2}.
Substituindo os números:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} =\frac{(12-1)\cdot 4^{2}+(10-1)\cdot 5^{2}}{12+10-2}.
Calculemos cada termo:
(12-1)\cdot 4^{2}=11\cdot 16=176,
(10-1)\cdot 5^{2}=9\cdot 25=225.
Somando e dividindo:
s_{p}^{2}=\frac{176+225}{20}=\frac{401}{20}=20,05.
Portanto a variância poolada é \,s_{p}^{2}=20,05.

Passo 4

Agora o desvio-padrão poolado s_{p} é a raiz quadrada de s_{p}^{2}:
s_{p}=\sqrt{20,05}\approx 4,478.
Expliquei a raiz porque o desvio-padrão é a medida de dispersão na mesma unidade das observações (gramas, aqui).

Passo 5

Calculamos o erro-padrão da diferença de médias:
\text{SE} = s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} =4,478\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{10}}.
Calcule a soma das frações:
\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{5}{60}+\frac{6}{60}=\frac{11}{60}\approx 0,18333\ldots
A raiz:
\sqrt{0,18333\ldots}\approx 0,428174.
Multiplicando:
\text{SE}\approx 4,478\cdot 0,428174\approx 1,917.
Portanto o erro-padrão da diferença de médias é aproximadamente \text{SE}\approx 1,917\\ \text{g}.

Passo 6

Escolher o valor crítico t_{\alpha/2,\nu}. Temos nível de confiança 95\%\Rightarrow \alpha=0,05 e \nu=n_{1}+n_{2}-2=12+10-2=20 graus de liberdade. Logo usamos
t_{0,025,\;20}\approx 2,086.
(Isto é obtido da tabela da distribuição t ou de calculadora; o valor é padrão para \nu=20.)

Passo 7

Calcule a margem de erro:
\text{ME}=t_{0,025,\;20}\cdot \text{SE}\approx 2,086\cdot 1,917\approx 3,997\\ \text{g}\approx 4,0\\ \text{g}.
Agora a diferença amostral é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=505-498=7\\ \text{g}.
O intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2} é
7\\ \text{g} \pm 3,997\\ \text{g},
ou seja
(7-3,997,\; 7+3,997)\\ \text{g}\approx (3,003,\;10,997)\\ \text{g}.
Arredondando de forma conveniente para duas casas decimais:
(\,3,00\\ \text{g},\;11,00\\ \text{g}\,).

Passo 8

Interpretação didática e incentivadora: este intervalo indica que, com 95\% de confiança, a diferença de médias \mu_{1}-\mu_{2} está entre aproximadamente 3,00\\ \text{g} e 11,00\\ \text{g}. Note que o intervalo está totalmente acima de zero, o que dá suporte à suspeita do engenheiro de que a máquina 1 entrega, em média, um peso maior que a máquina 2 — isto é, há evidência de excesso de produto pela máquina 1. Isso sugere que vale a pena investigar/ajustar a máquina 1 para evitar desperdício.
Força aí — isso é um bom resultado: conseguimos construir o intervalo e interpretar o que ele significa para a produção.

Resposta

(3,00\\ \text{g},\;11,00\\ \text{g})

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