Exemplo 2 - No preenchimento de embalagens em uma linha de produção de alimentos, um engenheiro de produção suspeita que a máquina 1 está entregando uma média de peso superior à máquina 2 , o que poderia gerar prejuízo por excesso de produto. Os resultados das amostras retiradas das duas máquinas foram:
. Faça um intervalo de confiança com
de probabilidade e considere que
são iguais.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes números do enunciado). Dados amostrais:
-
, , . -
, , .
O enunciado pede um intervalo de confiança com
de probabilidade para a diferença entre as médias das máquinas, assumindo que
e
são iguais. Ou seja, queremos um intervalo de confiança para
com nível de confiança
, usando a hipótese de variâncias iguais.
Passo 2
Explicando a ideia do método que vamos usar (passo didático): quando as variâncias populacionais são consideradas iguais, usamos a variância amostral combinada (variância “poolada”) para estimar a variabilidade comum e construímos um intervalo baseado na distribuição
de Student com graus de liberdade
.
A fórmula do intervalo de confiança de
para
é
onde:
-
é a diferença das médias amostrais; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade (para , usamos ); -
é o desvio-padrão poolado, estimado por
Aqui eu explico o que cada símbolo significa para você:
e
são as variâncias amostrais (já que
e
são desvios-padrão),
e
são tamanhos das amostras. O fator
aparece porque a variância da diferença de médias amostrais é
; substituímos
por
.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo a variância poolada
.
Substituindo os números:
Calculemos cada termo:
Somando e dividindo:
Portanto a variância poolada é
.
Passo 4
Agora o desvio-padrão poolado
é a raiz quadrada de
:
Expliquei a raiz porque o desvio-padrão é a medida de dispersão na mesma unidade das observações (gramas, aqui).
Passo 5
Calculamos o erro-padrão da diferença de médias:
Calcule a soma das frações:
A raiz:
Multiplicando:
Portanto o erro-padrão da diferença de médias é aproximadamente
.
Passo 6
Escolher o valor crítico
. Temos nível de confiança
e
graus de liberdade. Logo usamos
(Isto é obtido da tabela da distribuição
ou de calculadora; o valor é padrão para
.)
Passo 7
Calcule a margem de erro:
Agora a diferença amostral é
O intervalo de confiança de
para
é
ou seja
Arredondando de forma conveniente para duas casas decimais:
Passo 8
Interpretação didática e incentivadora: este intervalo indica que, com
de confiança, a diferença de médias
está entre aproximadamente
e
. Note que o intervalo está totalmente acima de zero, o que dá suporte à suspeita do engenheiro de que a máquina 1 entrega, em média, um peso maior que a máquina 2 — isto é, há evidência de excesso de produto pela máquina 1. Isso sugere que vale a pena investigar/ajustar a máquina 1 para evitar desperdício.
Força aí — isso é um bom resultado: conseguimos construir o intervalo e interpretar o que ele significa para a produção.