Em um processo de fabricação de mancais para eixos de manivela foi retirada uma amostra n_{1}=85 e encontrou-se uma proporção de defeituosos de p_{1}=0,12. Suponha que uma modificação seja feita no processo de acabamento da superfície e que, subsequentemente, obtenha-se uma segunda amostra aleatória de 85 eixos. O número de eixos defeituosos nessa amostra é 8 . Obtenha um intervalo de confiança para a diferença da proporção de mancais defeituosos produzidos pelos dois processos, ao nível de 95 \% de confiança.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de defeituosos dos dois processos.
  • Tamanho da primeira amostra: n_{1}=85.
  • Proporção observada na primeira amostra: p_{1}=0,12.
  • Tamanho da segunda amostra: n_{2}=85.
  • Número de defeituosos na segunda amostra: 8. (Deste número calcularemos p_{2}.)
O que se pede: obter um intervalo de confiança de 95\% para a diferença de proporções entre o primeiro e o segundo processo, ou seja para \,p_{1}-p_{2}\,.

Passo 2

Calcular a proporção observada na segunda amostra. A proporção é o número de defeituosos dividido pelo tamanho da amostra:
p_{2}=\frac{8}{85}.
Vamos calcular numericamente:
p_{2}=\frac{8}{85}\approx 0,0941176470588235\approx 0,09412.

Passo 3

Verificar se a aproximação normal pela CLT é razoável (regra prática): precisamos de n_i p_i \ge 5 e n_i(1-p_i)\ge 5 para cada amostra.
  • Para a amostra 1: n_{1}p_{1}=85\cdot0,12=10,2\ge5 e 85(1-0,12)=85\cdot0,88=74,8\ge5.
  • Para a amostra 2: n_{2}p_{2}=85\cdot0,09412\approx8\ge5 e 85(1-0,09412)\approx77\ge5.
Como essas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal para construir o intervalo de confiança.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de duas proporções independentes. A estimativa pontual da diferença é
\hat{d}=p_{1}-p_{2}.
A variância aproximada da diferença (assumindo independência) é
\operatorname{Var}(\hat{d})\approx \frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}.
O erro padrão (desvio padrão da estimativa) é
\operatorname{SE}(\hat{d})=\sqrt{\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}.
Para um nível de confiança de 95\% usamos o quantil da normal padrão z_{0,975}=1,96. Assim o intervalo de confiança para p_{1}-p_{2} é
\hat{d}\pm z_{0,975}\,\operatorname{SE}(\hat{d}).
Explicando em palavras: calcula-se a diferença observada, estima-se quanto essa diferença costuma variar (o erro padrão) e multiplica-se pelo fator 1,96 para cobrir 95\% de probabilidade na distribuição normal; então soma e subtrai isso da diferença observada para obter os limites.

Passo 5

Calcular a estimativa pontual da diferença \hat{d}:
\hat{d}=p_{1}-p_{2}=0,12-\frac{8}{85}\approx 0,12-0,0941176470588235=0,0258823529411765\approx 0,02588.

Passo 6

Calcular os termos dentro da raiz para o erro padrão, mostrando contas passo a passo.
Primeiro termo:
\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}=\frac{0,12\cdot(1-0,12)}{85}=\frac{0,12\cdot0,88}{85}=\frac{0,1056}{85}\approx 0,0012435294117647.
Segundo termo (usar a forma com a fração exata para clareza):
\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}=\frac{\dfrac{8}{85}\left(1-\dfrac{8}{85}\right)}{85} =\frac{\dfrac{8}{85}\cdot\dfrac{77}{85}}{85}=\frac{8\cdot77}{85^{3}}=\frac{616}{614125}\approx 0,001003004072.
Somando os dois termos:
\frac{p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}+\frac{p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}\approx 0,001243529412+0,001003004072=0,002246533484.
Agora o erro padrão:
\operatorname{SE}(\hat{d})=\sqrt{0,002246533484}\approx 0,047397\\ (\text{aprox. }0,04740).

Passo 7

Calcular a margem de erro usando z_{0,975}=1,96:
\text{margem}=1,96\cdot\operatorname{SE}(\hat{d})\approx 1,96\cdot0,047397\approx 0,092898.
Construir os limites do intervalo:
\text{limite inferior}=\hat{d}-\text{margem}\approx 0,02588235-0,092898\approx -0,0670157\approx -0,0670,
\text{limite superior}=\hat{d}+\text{margem}\approx 0,02588235+0,092898\approx 0,1187804\approx 0,1188.
Arredondando para três casas decimais (prática comum em IC de proporções), obtemos o intervalo
[-0,067;\;0,119].

Passo 8

Interpretação curta (útil para a prova): com 95\% de confiança a diferença verdadeira p_{1}-p_{2} está entre aproximadamente -0,067 e 0,119. Como o intervalo contém zero, não há evidência estatística, a 95\% de confiança, de que as proporções de defeituosos dos dois processos sejam diferentes (mas essa interpretação formal exige teste; aqui apenas observa-se que zero está no intervalo).

Resposta

[-0,067;\;0,119]

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