Em um processo de fabricação de mancais para eixos de manivela foi retirada uma amostra
e encontrou-se uma proporção de defeituosos de
. Suponha que uma modificação seja feita no processo de acabamento da superfície e que, subsequentemente, obtenha-se uma segunda amostra aleatória de 85 eixos. O número de eixos defeituosos nessa amostra é 8 . Obtenha um intervalo de confiança para a diferença da proporção de mancais defeituosos produzidos pelos dois processos, ao nível de
de confiança.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de defeituosos dos dois processos.
- Tamanho da primeira amostra:
. - Proporção observada na primeira amostra:
. - Tamanho da segunda amostra:
. - Número de defeituosos na segunda amostra:
. (Deste número calcularemos .)
O que se pede: obter um intervalo de confiança de
para a diferença de proporções entre o primeiro e o segundo processo, ou seja para
.
Passo 2
Calcular a proporção observada na segunda amostra. A proporção é o número de defeituosos dividido pelo tamanho da amostra:
Vamos calcular numericamente:
Passo 3
Verificar se a aproximação normal pela CLT é razoável (regra prática): precisamos de
e
para cada amostra.
- Para a amostra 1:
e . - Para a amostra 2:
e .
Como essas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal para construir o intervalo de confiança.
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de duas proporções independentes. A estimativa pontual da diferença é
A variância aproximada da diferença (assumindo independência) é
O erro padrão (desvio padrão da estimativa) é
Para um nível de confiança de
usamos o quantil da normal padrão
. Assim o intervalo de confiança para
é
Explicando em palavras: calcula-se a diferença observada, estima-se quanto essa diferença costuma variar (o erro padrão) e multiplica-se pelo fator
para cobrir
de probabilidade na distribuição normal; então soma e subtrai isso da diferença observada para obter os limites.
Passo 5
Calcular a estimativa pontual da diferença
:
Passo 6
Calcular os termos dentro da raiz para o erro padrão, mostrando contas passo a passo.
Primeiro termo:
Segundo termo (usar a forma com a fração exata para clareza):
Somando os dois termos:
Agora o erro padrão:
Passo 7
Calcular a margem de erro usando
:
Construir os limites do intervalo:
Arredondando para três casas decimais (prática comum em IC de proporções), obtemos o intervalo
Passo 8
Interpretação curta (útil para a prova): com
de confiança a diferença verdadeira
está entre aproximadamente
e
. Como o intervalo contém zero, não há evidência estatística, a
de confiança, de que as proporções de defeituosos dos dois processos sejam diferentes (mas essa interpretação formal exige teste; aqui apenas observa-se que zero está no intervalo).