- Um artigo sobre a poluição sonora afirma que os níveis de intensidade do ruído nas grandes cidades vêm crescendo à taxa de 1 dB por ano. (a) A que percentagem de aumento da intensidade corresponde esta taxa de aumento? Este aumento parece razoável? (b) Em quantos anos haverá duplicação da intensidade de um som se o aumento for de 1 dB por ano?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre aumento da poluição sonora nas grandes cidades, especificamente que os níveis de intensidade do ruído estão crescendo a uma taxa de 1 dB por ano. A gente vai precisar entender um pouco sobre como decibéis (dB) se relacionam com a intensidade do som para resolver as perguntas. Vamos descobrir qual a porcentagem de aumento da intensidade que esse 1 dB representa e também calcular em quantos anos a intensidade do som vai dobrar com esse aumento anual.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o decibel é uma unidade que mede a intensidade do som de forma logarítmica. A fórmula para calcular a diferença de decibéis entre duas intensidades $ I_1 $ e $ I_2 $ é:
Nesse caso, a diferença $ \Delta dB $ é de 1 dB por ano. Queremos descobrir qual é o aumento percentual correspondente na intensidade. Para isso, vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ \frac{I_2}{I_1} $:
Isso significa que a intensidade está aumentando para aproximadamente 1,2589 vezes a intensidade original a cada 1 dB. Para encontrar a porcentagem de aumento, subtraímos 1 e multiplicamos por 100%:
Então, um aumento de 1 dB corresponde a cerca de 25,89% de aumento na intensidade do som.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da questão: quantos anos levarão para a intensidade do som dobrar se ela está aumentando 1 dB por ano.
Queremos que $ I_{final} = 2 \cdot I_{inicial} $.
Usando a fórmula dos decibéis:
Isso significa que para dobrar a intensidade, a diferença total em dB precisa ser de aproximadamente 3,010 dB.
Como o aumento é de 1 dB por ano, o tempo necessário para atingir esse aumento é:
Então, levaria cerca de 3 anos para a intensidade do som dobrar com um aumento de 1 dB por ano.
Resposta
(a) Um aumento de 1 dB corresponde a aproximadamente 25,89 % de aumento na intensidade do som. Esse aumento parece razoável.
(b) Levaria cerca de 3 anos para a intensidade do som dobrar com um aumento de 1 dB por ano.