1. A voar sobre um poço do inferno, um demônio observa que os gritos de um condenado que cai no poço (com velocidade terminal) variam de frequência de 842 Hz a 820 Hz. (a) Achar a velocidade de queda do condenado. (b) Os gritos do condenado provocam batimentos quando superpostos ao eco que vem do fundo do poço. Achar o número de batimentos por segundo que são ouvidos pelo condenado. © Achar o número de batimentos por segundo ouvidos pelo demônio, depois da passagem do condenado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um demônio que está observando os gritos de um condenado que está caindo em um poço com velocidade terminal. A frequência dos gritos varia de 842 Hz a 820 Hz. Vamos usar conceitos de Efeito Doppler para entender como a frequência muda devido ao movimento do condenado e também explorar o que são batimentos quando dois sons com frequências próximas se sobrepõem. Precisamos calcular:
(a) A velocidade de queda do condenado.
(b) O número de batimentos por segundo ouvidos pelo condenado.
© O número de batimentos por segundo ouvidos pelo demônio após a passagem do condenado.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar a velocidade de queda do condenado.
O Efeito Doppler nos mostra como a frequência de um som muda quando a fonte do som está em movimento relativo ao observador. A fórmula do Efeito Doppler para uma fonte que se move em direção a um observador estacionário é:
f' = f ( vv - vs )
E quando a fonte está se afastando:
f'' = f ( vv + vs )
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência observada quando a fonte se aproxima (842 Hz).
  • $ f’’ $ é a frequência observada quando a fonte se afasta (820 Hz).
  • $ f $ é a frequência original emitida pelo condenado.
  • $ v $ é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s).
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte (velocidade de queda do condenado que queremos encontrar).
Como não sabemos $ f $, podemos dividir as duas equações para eliminar $ f $:
f'
Substituindo os valores conhecidos:
f''
Agora, vamos resolver para $ v_s $:
f
Multiplicando ambos os lados por $ 343 - v_s $:
v
Distribuindo:
vs
$$
289,006 - 842 v_s = 281, - I need to correct this step as I interrupted the calculation.
Continuando:
[
842 \times 343 - 842 v_s = 820 \times 343 + 820 v_s
$$
Calculando os produtos:
f
Agora, vamos isolar $ v_s $:
f
f'f'' = vv - vsvv + vs = v + vsv - vs
Finalmente, dividindo ambos os lados por 1,662:
842820 = 343 + vs343 - vs

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Encontrar o número de batimentos por segundo que são ouvidos pelo condenado.
Os batimentos ocorrem quando duas ondas sonoras de frequências ligeiramente diferentes se combinam, resultando em uma nova onda cuja amplitude varia no tempo. A frequência dos batimentos ( fb) é dada pela diferença entre as duas frequências:
fb = |f' - f''|
Aqui, as frequências são 842 Hz e 820 Hz:
fb = |842, Hz - 820, Hz| = 22, Hz
Então, o condenado ouve 22 batimentos por segundo.

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a parte ©: Encontrar o número de batimentos por segundo ouvidos pelo demônio, depois da passagem do condenado.
Após o condenado passar do demônio, a direção do movimento muda, e o efeito Doppler também. Agora, o demônio ouvirá uma frequência que se comporta da seguinte maneira:
Quando a fonte se afasta, a frequência observada é menor:
f''' = f ( vv + vs )
E quando a fonte se aproxima novamente, após passar:
f'''' = f ( vv - vs )
A diferença entre essas duas frequências dará os batimentos percebidos pelo demônio:
fb' = |f''' - f''''|
Usando os valores que já calculamos e as frequências dadas:
fb' = |820, Hz - 842, Hz| = 22, Hz
Portanto, o demônio também ouve 22 batimentos por segundo após a passagem do condenado.

Resposta

(a) A velocidade de queda do condenado é aproximadamente 4,7 m/s.
(b) O número de batimentos por segundo ouvidos pelo condenado é 22 Hz.
© O número de batimentos por segundo ouvidos pelo demônio, depois da passagem do condenado, também é 22 Hz.

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